El juego de azar que originó el cálculo de probabilidades

Nos hemos acostumbrado a oír la palabra probabilidad cuando nos informan qué clima vamos a tener en un día normal y entendemos perfectamente los anuncios que nos informan con porcentajes sobre la posibilidad de lluvias, aunque los meteorólogos no acierten. También, aunque se equivoquen los economistas, oímos frecuentemente sobre las expectativas económicas y las comprendemos perfectamente con los datos que involucran la probabilidad. Cuando se trata de apuestas sobre la victoria de un equipo de fútbol contra otro es inevitable usar las probabilidades, casi siempre basadas en datos estadísticos históricos.

Aunque la aparición de la teoría de la probabilidad aparentemente tuvo un origen muy reciente, con la axiomatización que le dio en 1933 el matemático ruso Andréi Kolmogórov, el estudio de la probabilidad comenzó mucho antes, gracias al interés en los juegos de azar. Se considera que la correspondencia entre los matemáticos franceses Pierre de Fermat y Blaise Pascal en el siglo XVII, en torno al “Problema del Caballero de Méré”, fue el comienzo del cálculo de probabilidades.

Antoine Gombaud – Caballero de Méré (1607-1684), fue un escritor y pensador francés, matemático aficionado, pero especialmente un experto jugador. Su interés y atracción por los juegos de azar le valió para que hoy se le reconozca un lugar en los orígenes del estudio de la teoría de la probabilidad, al plantear dos problemas muy famosos. Sobre uno de ellos, conocido como el “problema de la partida interrumpida”, escribí hace unos meses (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/problema-del-reparto-una-apuesta). 

El segundo problema, que les voy a presentar, fue consultado por el Caballero de Méré al destacado matemático Blaise Pascal hacia 1650. La pregunta fue la siguiente: 

¿Por qué si lanzo un dado 4 veces y apuesto a que en alguno de los lanzamientos sale un 6, tengo más posibilidades de ganar que cuando lanzo dos dados 24 veces y apuesto a que en algún lanzamiento sale un doble 6? ¿Acierto o estoy equivocado?

El Caballero de Méré, como gran jugador que era, había observado que era ligeramente favorable la primera apuesta, pero razonaba diciendo que debía ser igualmente ventajosa cualquiera de las dos apuestas por las siguientes razones: 

La probabilidad de sacar un 6 con un dado en un lanzamiento es 1/6, por lo tanto la probabilidad de sacar un doble 6 con dos dados, es decir un 6 en ambos dados, en un mismo lanzamiento, es igual a multiplicar por 1/6 la probabilidad de sacar un 6 con un dado en un lanzamiento; es decir:

(1/6)(1/6) = 1/36. 

Así que al ser la relación de 4 a 6 la misma que de 24 a 36, las dos apuestas debían coincidir en su probabilidad de ganar.

Como siempre, cuando se conoce la solución de un problema, parece fácil, y en efecto, este problema, hoy en día parece muy sencillo. 

La solución es la siguiente: la probabilidad de que al lanzar un dado no salga un 6 es 5/6 porque hay 5 valores que no son 6, entre 6 valores posibles. Como se lanza 4 veces el dado y los lanzamientos son independientes, entonces la probabilidad de que no salga un 6 en esos 4 lanzamientos es:

(5/6) · (5/6) · (5/6) · (5/6) ≈ 0,48225.

Ahora bien, la probabilidad de que salga al menos un 6 es entonces el resultado de restar a 1 ese valor; es decir:

1-0,48225 = 0,51775.

Por lo tanto, con probabilidad mayor que 1/2, el Caballero de Méré ganaba la apuesta en el primer juego. Examinemos ahora el segundo juego:

Como se procedió antes, calculamos la probabilidad de que no salga el doble 6 y luego restamos ese valor a 1. Como el doble 6 es uno de los 36 casos posibles al lanzar los dos dados, entonces la probabilidad de que no salga el doble 6 en un lanzamiento es 35/36 porque hay 35 valores que no son el doble 6, de los 36 posibles. Como los dados se lanzan 24 veces y los lanzamientos son independientes, entonces la probabilidad de que no salga el doble 6 en 24 lanzamientos será:

(35/36)^24 ≈ 0,50860.

La probabilidad de sacar al menos un doble 6 en los 24 lanzamientos será:

1-0,50860 ≈ 0,49140

Entonces, con probabilidad menor que 1/2 el Caballero de Méré podía ganar en el segundo juego, lo cual no le era favorable. La probabilidad de ganar en el primer juego resulta casi un 2% mayor que la de ganar en el segundo juego.

Pascal y Fermat dieron la solución a este problema en la correspondencia que se generó entre ambos, pero quien formalizó todos estos argumentos fue el matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695), quien conoció esa correspondencia y publicó en 1657 el trabajo titulado De Ratiociniis in Ludo Aleae (Calculando en juegos de azar), considerado el primer tratado sobre el cálculo de probabilidades.

Finalmente les comparto otra manera de ver por qué razón el problema del Caballero de Méré resulta paradójico.

Al lanzar un dado se pueden obtener 6 resultados diferentes, por lo tanto en 4 lanzamientos podemos obtener:

6 x 6 x 6 x 6 = 1296 resultados diferentes.

¿En cuántos de esos 1296 resultados sale un 6? La respuesta es más fácil de dar calculando en cuántos resultados no sale 6 y restando ese número de los 1296. En efecto, si calculamos de cuántas formas pueden salir los números del 1 al 5 en un lanzamiento, obtenemos como respuesta 5; así que en 4 lanzamientos serán:

5 x 5 x 5 x 5 = 625.

Entonces el número de resultados en los que sale un 6 será:

1296 – 625 = 671.

Por lo tanto la conclusión es que en 4 lanzamientos de un dado hay más resultados en los que sale 6, que resultados en los que no sale 6. Así que la apuesta del Caballero de Méré para el primer juego era ventajosa.

@MantillaIgnacio