Propuse en mi cuenta de Twitter, como es mi costumbre, el siguiente problema.
Tres estudiantes de primer semestre de la carrera de matemáticas conforman un grupo de estudio e intercambian su nuevo código asignado por la universidad. Una de ellas observa que los tres códigos corresponden a números de 6 dígitos que no empiezan con un cero y que tienen algo en común: si les cortan los dos últimos dígitos a la derecha y los ponen delante a la izquierda, cada uno de esos códigos se triplica.
¿Cuáles son los tres números de los códigos?
A continuación expongo un método para dar con la solución.
Los códigos de las tres estudiantes son de seis dígitos, sin que el cero pueda ser el primer dígito en ningún caso, es decir que se trata de números naturales que podrían ser escritos como MN, donde M es un número natural de 4 dígitos que no comienza con cero (los primeros de un código de 6 dígitos) y N es un número de dos cifras, entre 00 y 99 (los últimos dos dígitos de un código de 6 dígitos).
Entonces un código puede escribirse formalmente como:
100 x M + N.
Si ahora cortamos los dos últimos dígitos de la derecha y los ponemos a la izquierda, el nuevo número obtenido es:
10.000 x N + M.
Para aclararlo, obsérvese que sí por ejemplo tenemos el número 345678, entonces M = 3456, N = 78. El número se puede escribir como: 100 x M + N = 345600 + 78. Y si cortamos los dos últimos dígitos y los ponemos a la izquierda tenemos que: 10.000 x N + M = 10.000 x 78 + 3456 = 780.000 + 3456 = 783456.
Volviendo al problema, se nos informa que al hacer lo anterior, de cortar los dos últimos dígitos y ponerlos a la izquierda, el número del código se triplica, es decir que:
3(100 x M + N) = 10.000 x N + M.
Operando esta ecuación obtenemos:
300 M + 3 N = 10.000 N + M
300 M – M = 10.000N – 3N,
Entonces:
299 x M = 9997 x N.
Descomponemos en factores primos los números 299 y 9997 tenemos que:
(13 x 23) x M = (13 x 769) x N,
luego, simplificando el 13:
23 x M = 769 x N (*)
Analicemos ahora la igualdad anterior:
N es un número de dos dígitos y M es de cuatro dígitos, pero los dos números de la ecuación, de la izquierda y la derecha de (*), deben ser iguales, o sea que 23 y 769, que son ambos primos, deben ser factores primos tanto de 23 x M como de 769 x N. Ahora bien, como N es de dos dígitos y debe ser múltiplo de 23 porque, como ya se dijo, 769 no puede serlo por ser primo, se tiene que N solo puede tomar entonces los valores:
23, 46, 69 o 92.
Pero al número 23 hay que descartarlo porque si N = 23, entonces, de (*) se sigue inmediatamente (simplificando), que M = 769, lo cual contradice que M es de cuatro dígitos. Por lo tanto N es 46, 69 o 92 y con esto hemos resuelto el problema. En efecto:
Primer caso: si N = 46 entonces, de (*) tenemos que M = 769 x 2 = 1538 y así el primer código es: 153846.
Segundo caso: N= 69 entonces, de (*) se sigue que M = 769 x 3 = 2307 y el código es entonces 230769.
Tercer caso: N= 92 entonces, de (*) se sigue que M = 769 x 4 = 3076 y por lo tanto el código será 307692.
Verifiquemos la respuesta:
A. 153846 —— 461538 = 3 x 153846
B. 230769 —— 692307 = 3 x 230769
C. 307692 —— 923076 = 3 x 307692
Espero que la solución presentada ofrezca también alguna enseñanza nueva para los lectores.
@MantillaIgnacio