Desde la antigüedad, desde la Mesopotamia, la fascinación por los números primos y el interés en conocerlos a todos, han sido motores para desarrollar las matemáticas y sus aplicaciones, así como para mostrar su belleza.
Un número primo es aquel número natural mayor que 1, que solo es divisible por sí mismo y por la unidad. El 1 no es primo y sí lo son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Pero ¿cuántos son?, ¿están más separados entre sí cuando son más grandes?, ¿para qué sirven? y ¿de qué sirve saber estas cosas?
A estos interrogantes se ha respondido con precisión, especialmente desde la antigua Grecia, pero las aplicaciones derivadas del trabajo por encontrar esas respuestas parecen no tener límite. Así por ejemplo, hoy tenemos seguridad y protección en nuestras cuentas bancarias y tranquilidad personal en el uso de Internet, gracias al descubrimiento de nuevos algoritmos usados en la criptografía, originados en la búsqueda de números primos. Y desde hace 23 siglos se ha usado el conjunto de los números primos para entender, con uno de los mejores ejemplos, cómo se demuestra matemáticamente una afirmación, acudiendo a la técnica de reducción al absurdo.
En efecto, la demostración del Teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos, suponiendo que es un conjunto finito y llegando a una contradicción, es una ilustrativa prueba, presentada en forma clara, que se constituye aún hoy en una de las más bellas y sencillas piezas matemáticas de un hecho trascendental de gran aplicación e impacto. La demostración de Euclides aparece en el libro IX de su obra Elementos y no utiliza en ella conocimiento mayor del que debe tener hoy un niño que curse primaria. Para conocerla o recordarla, la incluyo al final (*).
Saber que los números primos son tantos es muy importante, pero distinto sería poder saber cuáles son todos ellos, como por ejemplo cuando hablamos de los impares: 1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, … que siendo infinitos, sabemos qué forma tienen y fácilmente los identificamos porque todos se escriben como (2n+1), siendo n un natural.
Acostumbro dar el ejemplo de los primos para mostrar que por muy potente que sea un computador, por muy grande que sea su capacidad de memoria, nunca podría almacenar a todos los primos. No obstante, dado cualquier número natural, un computador sí puede decirnos si ese número es un primo o no y también, si la máquina tiene buena capacidad, podría presentar la lista de todos los primos que son menores que él; y esta es justamente la idea que está detrás de lo que se denomina una criba, que no significa otra cosa que una lista conseguida a través de una selección rigurosa.
Seducido por hacer la lista de los números primos que son menores que un número dado, el matemático y astrónomo griego Eratóstenes de Cirene (276 a. C – 194 a. C) ideó una manera de encontrarlos mediante una criba conocida como “Criba de Eratóstenes”, que es muy sencilla de entender: se comienza escribiendo los números desde el 2 hasta el número dado. Se marca el 2 como primer número primo y a continuación se van tachando todos los múltiplos de 2. Después se marca como primo el primer número no tachado que nos encontremos, o sea el 3 en este caso, y se tachan todos los múltiplos de este que no están ya tachados. Y así sucesivamente. Al final, los números no tachados son todos los números primos que hay entre 2 y el número dado inicialmente. A continuación una imagen de la criba de Eratóstenes para los primos menores que 100.
Hay otros métodos para encontrar los números primos menores que un número dado, pero existe uno geométrico, bastante reciente, poco conocido, que a mi modo de ver es muy curioso, bellísimo y sorprendente. Se trata de la llamada “Criba de la Parábola”, que es la segunda criba que quiero presentarles. Fue ideada por los rusos Yuri Matiyasévich y Boris Stechkin, vale recordar que el primero de ellos es el mismo matemático que en 1970 dio solución a uno de los 23 problemas de Hilbert, planteados en 1900; más exactamente al décimo problema, relacionado con las soluciones de las ecuaciones diofánticas.
La ingeniosa “Criba de la Parábola” funciona de la siguiente manera: se representa gráficamente la parábola 2x = y².
Ahora marcamos sobre la parábola las imágenes de todos los puntos que son cuadrados perfectos, del 2 en adelante, esto es: 4, 9, 16, 25, … (hay una imagen por encima y otra por debajo del eje X).
Unimos con segmentos de recta todos los puntos que han quedado marcados por encima del eje X con los marcados por debajo del eje X para obtener la figura siguiente, en la que hemos resaltado con color rojo los puntos sobre el eje X que no atraviesa ninguna línea.
(Imagen tomada de gaussianos.com)
Como se observa, sorprendentemente, esos puntos rojos por los que no pasa ningún segmento corresponden a los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … ¿No es fantástico?
Y se puede demostrar formalmente y en general, cosa que supera el alcance de este artículo, que los enteros por los que no pasa ninguna línea son todos los números primos (los lectores interesados en conocer la demostración pueden consultar, por ejemplo, el siguiente enlace: https://blogdemaths.wordpress.com/2012/09/30/le-crible-de-matiyasevitch/ con la demostración para la parábola x = y²).
Hay también excelentes sitios web, como el que ha creado José Luis Álvarez García, quien usa magistralmente la herramienta matemática Geogebra, en los que se puede jugar con esta bella criba y deleitarse buscando números primos: https://www.geogebra.org/m/MqUXx3jx
(*) El razonamiento de Euclides fue el siguiente: asumamos que los números primos son finitos. Esto significa que podemos hacer una lista con todos ellos sin dejar ninguno por fuera. Pero entonces, si los multiplicamos a todos entre sí, desde el primero hasta el último y al resultado de esa multiplicación ahora le sumamos 1, obtenemos un nuevo número que no es divisible entre ninguno de los números primos de la lista porque ese 1 será el residuo siempre. Así por ejemplo, si la lista es de los primeros cuatro: 2, 3, 5 y 7 entonces 2×3×5×7+1 = 211 que efectivamente es primo y el residuo de su división por cualquiera de los cuatro de la lista es 1. Ahora bien, si el nuevo número no es divisible por ninguno de los números primos que componen la lista de todos, quiere decir que solo es divisible entre sí mismo y la unidad, y por definición, se trata de un nuevo número primo. Eso es absurdo porque habíamos supuesto que en la lista estaban todos, significa que entonces faltaba al menos uno, o sea que no importa cuántos primos estén es esa lista, siempre podremos agregar uno nuevo mayor. Por lo tanto no podemos suponer que hay un conjunto finito de números primos. Como conclusión: los números primos son infinitos.
@MantillaIgnacio