Diofanto: ¿cuántas de vino y cuántas de whisky?

En estos días me pidieron un ejemplo de algo que sea eterno. Entonces recordé una respuesta del colega español Eduardo Sáenz de Cabezón, quien en una entrevista afirmaba que si querías regalar algo que durara para siempre, debías regalar un teorema, porque los teoremas, a diferencia de los diamantes (como se cree), sí son para siempre. 

Sin duda un teorema es eterno, un legado universal para la eternidad, porque los teoremas una vez se demuestran son por siempre una verdad irrefutable. Es por eso que viejos teoremas, como los que aprendemos de la geometría euclidiana, por ejemplo, mantienen sin modificación alguna su vigencia aun cuando se descubran nuevas formas para demostrarlos. 

A diario aparecen nuevos métodos para enseñar y aprender, que facilitan la comprensión de algunos conceptos, pero no por esas novedades cambia el resultado. Tan sencillo como saber que 7×5 = 35, y que eso no va a cambiar, sin importar cómo se enseñe o cómo se pueda aprender. Pero lo grave es que se extienda la idea de que las matemáticas fundamentales son como las modas que pueden dejarse de usar. Hace pocos días contaba un colega, quien años atrás formó parte de un grupo encargado de presentar unas propuestas para replantear metodologías para la enseñanza de la física y las matemáticas, que tuvo que oír en una reunión con asesores del ministerio de educación el mensaje con el que se reconocía la importancia del trabajo de la comisión, pues según el ministerio “… en Colombia estamos rezagados y parecemos detenidos en el tiempo, tanto así que en los colegios todavía se enseña el Teorema de Pitágoras”.

Examinar, enseñar, aprender y disfrutar las matemáticas que desarrollaron los griegos, en general, tiene una fascinación especial, precisamente porque su vigencia no se pierde. El florecimiento de esas matemáticas tuvo lugar especialmente entre los siglos V a.C. y III a.C., donde se destacaron figuras como Euclides, Arquímedes, Eudoxo, Eratóstenes, Aristarco entre otros, por eso se acostumbra llamar ese período: “Edad de Oro” de las matemáticas griegas. Posteriormente, en los primeros siglos del primer milenio brilló la ciudad de Alejandría como sucesora de Atenas y promotora de la cultura griega. La actividad matemática tuvo un especial desarrollo en esta ciudad entre el siglo II y el siglo V d.C. aproximadamente, más exactamente hasta la muerte Hipatia, primera mujer matemática, en el año 415. 

Allí se destacó también un matemático excepcional llamado Diofanto, a quien se le suele reconocer como el “padre del álgebra”, aunque su obra no contiene el material que constituya la base del álgebra elemental moderna. Su obra más importante se titula “Arithmetica”, un tratado de trece libros, de los que han sobrevivido los seis primeros. 

Diofanto es el primero que distingue entre la matemática geométrica utilizada habitualmente por los griegos y una matemática algebraica aun cuando Diofanto se asemeja más a los algebristas babilónicos, sus números son abstractos y no se refieren a medidas de longitud, dimensiones de campos, monedas o cantidades de granos. Diofanto está interesado únicamente en soluciones exactas, mientras que los babilonios estaban dispuestos a aceptar soluciones aproximadas, incluso con números que hoy conocemos como irracionales. Por este motivo las ecuaciones cúbicas, por ejemplo, rara vez aparecen en la obra de Diofanto.

A él se debe el primer estudio de las llamadas “ecuaciones diofánticas”, que se caracterizan por ser de tipo polinómico, pero el conjunto donde se van a buscar las soluciones es solamente el de los números enteros. Es por esto que las soluciones de las ecuaciones diofánticas son tan especiales. “Arithmetica” no es un texto propiamente, es una colección de 150 problemas resueltos en términos de ejemplos numéricos concretos, aunque quizás Diofanto pretendiese sugerir con ellos un método general. 

Diofanto también resuelve problemas con varias incógnitas, pero es común que exprese hábilmente todas las cantidades desconocidas en términos de una sola de ellas, siempre que esto sea posible. Un problema que puede servir para ilustrar este método es del tipo siguiente: 

“calcular dos números tales que su suma sea 12 y la suma de sus cuadrados sea 74”.

Hoy en día procederíamos planteando un sistema de dos ecuaciones y usaríamos dos incógnitas, así:

Diofanto presentaría en cambio los números desconocidos usando una única incógnita en vez de manejar dos incógnitas. Por ejemplo, usaría la información de la suma igual a 12 llamando a esas incógnitas (6+x) y (6-x), reduciendo así el problema a este otro que tiene la misma solución: 

Como una anécdota histórica se menciona que Pierre de Fermat conjeturó en 1637 el famoso “último teorema de Fermat” cuando intentaba generalizar un problema que encontró en la “Arithmética” de Diofanto: “dividir un cuadrado dado en dos cuadrados”.

Sobre la teoría general de las ecuaciones diofánticas han investigado grandes matemáticos y como resultado de esos trabajos hay teoremas bellísimos y sorprendentes, como por ejemplo el que asegura que:

“La condición necesaria y suficiente para que la ecuación lineal diofántica ax ± by = n tenga solución entera es que el máximo común divisor d de a y b sea divisor de n”.

Un ejemplo de cómo aplicar este resultado es la solución al siguiente problema:

Para la fiesta de matrimonio de su hija, Herbert ha decidido gastar $1.530.000 que tenía ahorrados y comprar un total de 30 botellas de vino y de whisky, pero con mayoría de vino, como le han aconsejado los organizadores. Si las botellas de whisky cuestan $50.000 más que las de vino ¿cuántas botellas de vino, como mínimo, debe comprar?

Aun cuando el problema parece sencillo, no lo es tanto, pues en este caso al buscar una respuesta con números enteros positivos, debemos plantear una ecuación lineal diofántica con dos incógnitas, como sigue:

botellas de vino vino = x

botellas de whisky = 30 – x

Precio de una botella de vino = y

Precio de una botella de whisky = y + 50000.

De acuerdo con el enunciado del problema:

xy + (30 – x)(y + 50000)  = 1.530.000

xy + 30y + 1.500.000 – xy – 50000x = 1.530.000 

30y – 50000x = 30000.

El máximo común divisor de 30 y 50000 es MCD(30,50000) = 10.

Como 10 divide a 30000, de acuerdo con el teorema, se garantiza entonces la existencia de soluciones enteras. Para encontrar esas soluciones podemos proceder dividiendo entre 10 la última ecuación:

3y – 5000x = 3000    (*)

que es la ecuación lineal diofántica reducida a resolver para dar solución al problema. A continuación presento la solución, dejando los detalles como “tarea” a los lectores interesados:

y = (3000 + 5000x)/3.

A simple vista, tenemos una solución entera cuando x = 3. En ese caso y = 6000. Entonces:

x = 3,  y = 6000  es una solución particular de (*).

La solución general (x,y) de (*) es entonces:

x = 3 + 3t,

y = 6000 + 5000t, 

donde la constante t toma valores enteros entre 0 y 9.

Cuando t = 0, x = 3,

t = 1, x = 6

t = 2, x = 9

t = 3, x = 12

t = 4, x = 15

t = 5, x = 18.

Como la mayoría de las botellas deben ser de vino, x debe ser mayor que 15 y menor que 30. Por lo tanto el mínimo valor posible de x se obtiene con t = 5 y en tal caso, x = 18.

La solución para Herbert es entonces comprar 18 botellas de vino y el resto, o sea 12, de whisky.

El precio que puede pagar por una botella de vino es:

y = 6000 + 5000t = 6000 + 5000(5) = 6000 + 25000 = 31000

es decir que cada botella de vino cuesta $31000 y cada botella de whisky cuesta (31000+50000) = $81000. Puede comprobarse que la compra de todas las botellas, de vino y de whisky, consume exactamente sus ahorros de $1.530.000

De la vida de Diofanto sabemos muy poco, ni siquiera hay certeza si vivió en el siglo III o en el IV, pero se ha difundido una breve descripción de su vida a modo de acertijo, contenido en la “Antología Palatina”, obra del siglo X, compilada en Constantinopla. La obra contiene acertijos de temas matemáticos escritos por un tal Metrodorus en el siglo IV y uno de ellos es justamente el que se presenta como epitafio hallado en la tumba de Diofanto, una tumba que no se conserva en ningún sitio conocido. Pero gracias a Metrododus y su acertijo, podemos plantear una ecuación diofántica (con una incógnita) para determinar cuántos años vivió Diofanto.

El ingenioso epitafio es el siguiente: 

“¡Caminante! Aquí yace Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! cuán larga fue su vida, cuya sexta parte ocupó su hermosa infancia; había transcurrido la doceava parte de su vida cuando de vello cubriose su barbilla. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y luego de un quinquenio más, le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito, que entregó a la tierra su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan solo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena bajó a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo”. 

Se deduce entonces que Diofanto de Alejandría vivió x años, donde x es la solución de la ecuación:

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x.

La solución indica que Diofanto falleció a la edad de 84 años. Pero adicionalmente nos cuenta que se casó a los 33 años, fue padre a los 38 y perdió a su hijo a los 80, cuando éste tenía apenas 42 años de edad.

@MantillaIgnacio