Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

Difícil de contar no es infinito

 

Una de las preguntas más difíciles de responder, aún para nosotros los matemáticos, es la del reto de indicar el número más grande que se nos pueda ocurrir. Pero cualquier respuesta, por ingeniosa que sea, permite aclarar un concepto que todos aprendemos sin darle la importancia que tiene. Me refiero al significado de “infinito”.

Si le pedimos a un niño que escriba el número más grande que conoce, seguramente nos sorprenderá su respuesta, pero cuando el pequeño lo haya escrito nos dará la oportunidad de mostrarle uno aún mayor, como por ejemplo el que se obtiene sumándole 1 al suyo y por lo tanto será una oportunidad para explicarle que es imposible encontrar el más grande de todos los números.

Un buen ejemplo de un número grande es 1016 que según se ha estimado, correspondería al número total de palabras que se han escrito, en forma impresa, desde la aparición de la imprenta de Gutenberg.

Una de las respuestas que se ha dado a la pregunta sobre cuál es el número más grande que podemos imaginar, fue precisamente la que dio origen a la palabra “Google” para denominar ese poderoso motor de búsqueda de Internet que hoy todos utilizamos. En efecto, en 1940, James R. Newman y Edward Kasner publicaron el libro titulado “Las matemáticas y la imaginación”, donde se menciona por primera vez el término ‘Googol’, (pronunciado ‘Gúgol’ y así mismo traducido hoy al español), de donde proviene la palabra Google. 

El vocablo gúgol es en realidad el nombre corto de un número muy grande. La historia es muy interesante: el profesor Kasner le pidió a su sobrino, cuando tenía nueve años de edad, que propusiera un nombre para un número muy grande, 1 seguido de 100 ceros (o sea 10100). El niño sugirió la palabra gúgol y dio un nombre para otro aún mayor que llamó un ‘gugolplex’ y que según aseguró, era más grande que el indicado por su tío, entendido como un 1 seguido de tantos ceros, “hasta que uno se canse de escribirlos”. Karsen siguó la idea del chico y precisó la definición de un gugolplex como 10 elevado a la potencia gúgol, es decir,

10^(10100) = 10gúgol = gugolplex.

Esta historia explica entonces por qué la palabra Google también se acostumbra escribir a veces agregando la letra ‘o’ repetidamente: ‘Gooogle’ o ‘Gooooogle’.

Al mismo reto de dar a conocer el número más grande, se enfrentó Arquímedes, el famoso matemático griego, nacido en el año 287 a.C. de quien se ha difundido más ampliamente el más famoso de sus aportes,  como es el que se narra sobre su descubrimiento del principio que lleva su nombre, que al grito de “Eureka”, lo anunció corriendo desnudo por las calles de su ciudad natal, Siracusa (Sicilia), centro cultural de la Grecia Antigua, y que dice: “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un impulso igual al peso del volumen de fluido que desaloja”. 

Pero Arquímedes fue muy prolífico, escribió varias obras: Esfera y Cilindro, Geoides y Esferoides, Cuadratura de la Parábola, Cuerpos Flotantes, Los Lemas, El Método, entre otras. A diferencia de la mayoría de los sabios de su época, Arquímedes utilizó sus conocimientos teóricos de matemáticas en muchas aplicaciones prácticas.

Cansado de oír que cosas difíciles de contar, como la arena, eran infinitas, se impuso la tarea de contar todos los granos de arena, pues en un mundo finito, aseguraba, no podía haber un número infinito de granos de arena; había un tope y él se proponía calcularlo.

En su obra El Arenario o El Contador de Arena, habla sobre la cantidad de granos de arena que hay en el planeta, y sobre la que habría si el universo estuviera lleno de ella. El trabajo comienza diciendo: “Hay algunos que creen que el número de granos de arena es infinito en cantidad y por arena entiendo no sólo la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también la que se encuentra en cualquier región habitada o sin habitar. Hay también algunos que, sin considerarlo infinito, creen que no existe una cifra lo bastante grande para exceder a su magnitud…”.

Arquímedes no calculó la cantidad de granos de arena en el Universo, sino la cantidad de granos de arena que llenarían todo el espacio del Universo si estuviera lleno de arena. Inventó una notación especial para los números, debido a que el sistema de numeración griego era muy rudimentario. En ese momento, el número más alto para el que los griegos tenían un nombre era 10⁴ = 10 000, a lo que llamaban μυριος (murious), que significaba incontable y era también una palabra para ‘infinito’ en la Antigua Grecia. Los romanos convirtieron esa palabra en miríada y es así como la conocemos ahora.

Para el cálculo, Arquímedes partió de la miríada (10 000) e introdujo una nueva clasificación de números de ‘primer orden’ que eran los que llegaban a una miríada de miríadas, es decir 10 000 x 10 000 = 100 millones o 10⁸. Los de ‘segundo orden’ iban desde ahí hasta 100 millones x 100 millones = 10⁸ x 10⁸, es decir (10⁸)². Los del ‘tercer orden’ iban hasta 10⁸ x 10⁸ x 10⁸ , es decir, (10⁸)³, y así sucesivamente.

Una vez establecido el sistema de notación para números grandes, Arquímedes procedió a explicar cómo llenar con arena el universo conocido en la época, considerando una serie de esferas con origen en el centro de la Tierra y cuyo radio debía ser la distancia de la Tierra al Sol. La estimación de Arquímedes fue finalmente de 1063 granos de arena. Así concluyó que se necesitaban números del octavo orden, es decir (10⁸)⁸ = 10⁶⁴ para contar todos los granos de arena del universo.

La gran importancia en esta tarea fue el paso que dio Arquímedes de «órdenes» de números a lo que llamó «períodos» de números. El primero de esos períodos era 10⁸ elevado a la potencia 10⁸, es decir, 1 seguido por 800 millones de ceros. Así estableció luego la manera de pasar de “miríadas de miríadas” a “períodos de períodos”. 

De esta forma, Arquímedes nos dejó hace más de 22 siglos, un sistema de notación basado en la potenciación, como la conocemos hoy y aclaró la confusión entre infinito y números muy grandes. 

@MantillaIgnacio

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