¿Cuántas veces se puede doblar un papel?

Todos, alguna vez, hemos doblado papel: una servilleta, una hoja de cuaderno, un recorte de periódico, una cartulina, un recibo, un desprendible, una lista de mercado o un papelito cualquiera en el que anotamos una dirección; y casi siempre el doblez lo hacemos con un pliegue por la mitad, a lo sumo un par de veces, sin intentar más pliegues consecutivos. 

¿Podría usted doblar una hoja sucesivamente 10 veces por la mitad cada vez? Por intuición la respuesta más frecuente es que sí y que muchas más. Puede usted ahora intentarlo; pero veamos, desde las matemáticas, si esto es posible.

Suponiendo que un cuadernillo de 100 hojas tiene una altura de 1 cm, entonces un paquete de 10 hojas, puestas una sobre otra, tiene una altura de 1 mm; es decir que una hoja de papel tiene un grosor de 0,1 mm. Si entonces tomamos una hoja y la doblamos sobre sí misma obtenemos un grosor de 0,2 mm y si lo hacemos de nuevo obtenemos 0,4 mm. Al repetir la acción el grosor es de 0,8 mm, continuando sucesivamente tenemos 1,6 mm, 3,2 mm, 6,4 mm, 12,8 mm, 25,6 mm, 51,2 mm. Este último es el grosor obtenido después de haber realizado 9 dobleces; es decir que para llevar a cabo un pliegue más, el décimo, tendríamos que ser capaces de doblar un conjunto de hojas de un grosor cercano al de una resma de papel común para impresora, es decir unos 5 cm, lo que ya supera la capacidad de fuerza promedio de una persona para hacer manualmente un pliegue más.

Ahora bien, si fuese posible seguir doblando el papel sucesivamente, con la ayuda de una prensa mecánica, por ejemplo, el grosor a partir del décimo doblez aumenta así: 102,4 mm, 204,8 mm, 409,6 mm, 819,2 mm, 1638,4 mm, 3276,8 mm, … Como se observa, después de 15 pasos, a partir de un grosor de 0,1 mm, llegamos a un paquete de casi 3,3 metros de altura. Y si lográramos doblar el papel 30 veces, su altura alcanzaría 100 km y con 50 veces llegaría a tener un grosor inimaginable, gigante, de unos 100.000.000 km, es decir unas 250 veces la distancia entre la Tierra y la Luna. 

El récord del papel doblado por una persona fue el establecido en 2001 por la estudiante californiana de secundaria Britney Gallivan, quien aceptó el reto de su profesor de matemáticas de doblar una hoja 12 veces por la mitad, como condición para subir la nota de la asignatura. Britney no se desanimó con los primeros intentos fallidos; entendió el problema y acudió a las matemáticas para determinar el tamaño que debía tener la hoja, dependiendo de su grosor, así como de la forma que iría adquiriendo en los bordes al doblarla sucesivamente 12 veces.

La fórmula encontrada para determinar la longitud mínima L del papel requerido, para llevar a cabo n pliegues, cuando el papel tiene un grosor t, es la siguiente:

L = π·t(2^n+4)(2^n-1)/6.

Si examinamos el factor (1/6)(2^n+4)(2^n-1) tenemos, partiendo de n = 0, la siguiente sucesión:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2.794, 11.050, 43.946, 175.274, 700.074, …

esto significa que para llevar a cabo el undécimo pliegue se necesita más de 700.000 veces la cantidad de papel requerido en el primer doblez.  

Fue así como Britney concluyó que necesitaba un rollo de papel de 1,2 km de longitud, si escogía papel muy fino y maleable, como el conocido como papel de oro, del menor grosor posible. Tras 7 horas de trabajo la estudiante logró su objetivo imponiendo así el récord en 12 dobleces. 

Si desea intentar el experimento, puede usted comprobar que con un periódico, al completar siete dobleces ya el paquete formado adquiere el grosor de 128 hojas puestas una sobre otra, imposible de doblar. También puede extender un rollo de papel higiénico en el suelo y comenzar a doblar. El resultado debe ser algo parecido al bulto que muestra la imagen. 

La tarea de doblar papel proporciona un buen ejemplo de lo que es el crecimiento exponencial. Estos resultados de duplicar sucesivamente (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) muestran el rápido crecimiento de las progresiones geométricas y arrojan cifras que aumentan a una velocidad tan extraordinaria, que resultan contraintuitivos. El ejemplo me parece además especialmente pertinente ahora, cuando a diario nos informan cómo se propaga la epidemia del Covid-19 y con comprobado desconocimiento algunos comunicadores y periodistas hablan en forma errónea de estos comportamientos numéricos con una envidiable seguridad. 

El ejemplo resulta también excepcionalmente interesante porque cada vez que se dobla un papel como se ha indicado, su grosor se duplica, pero su tamaño se reduce a la mitad; así que con la misma acción sucesiva se puede mostrar también que el tamaño del papel disminuye como lo hace una sucesión decreciente convergente a cero con una velocidad extraordinaria: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

@MantillaIgnacio