Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

¿Cuándo desaparecerá el mundo?

Hubo una época en la que era común que los matemáticos también se ganaran la vida comercializando juegos de su invención; esta parece ser la razón que dio origen a un acertijo que ha perdurado con éxito bajo el nombre de “Las Torres de Hanói”, sin que al parecer tenga algo que ver con la ciudad de Hanói en Vietnam. En efecto, desde 1883, cuando el matemático francés Édouard Lucas lo creó, se convirtió en un rompecabezas retador y atractivo, aún vigente. 

Cuenta la leyenda que en un templo de Brahma en la India hay una gran sala con tres postes ya gastados por el tiempo. Bajo su cúpula los sacerdotes han estado moviendo 64 discos de oro que Brahma colocó en uno de los postes, ordenándolos por su tamaño: el mayor en la base y el más pequeño arriba. Desde entonces, cada día, sin descanso alguno, los sacerdotes del templo mueven los discos de acuerdo con las reglas inmutables que dictó Brahma para hacerlos pasar de un poste a otro, que se resumen así:  sólo se puede mover un disco al día y nunca se puede situar un disco de mayor diámetro encima de otro de menor diámetro. Todos los sacerdotes del Brahma actúan obedientemente siempre así y una antigua profecía indica que el día en que los 64 discos hayan sido trasladados desde el poste en que Brahma los puso a uno cualquiera de los otros dos postes, ese día el mandato de la profecía hará que el templo y el mundo entero desaparezcan.

¿Cuándo se completará el último movimiento y desaparecerá el mundo?

No está claro si Lucas inventó esta leyenda o si se inspiró en ella para inventar un rompecabezas con tres varillas y proponer el ingenioso acertijo consistente en hallar el menor número de movimientos requeridos para mover n discos de una varilla a otra con las reglas de Brahma.

Una ilustración de la solución para el caso en que n = 3 es la que indica la figura.

Claramente en este caso se necesitan 7 movimientos como mínimo

Si aumentamos a 4 discos, el mínimo de los movimientos necesarios será de 15 porque se necesitan 7 movimientos para poner los tres primeros discos en la varilla contigua, tal como se ilustró antes; otro movimiento para ubicar el disco grande en la varilla del extremo y como antes otros 7 movimientos para volver a ubicar los tres discos en la varilla del extremo a donde se trasladó el disco grande. 

En general, por cada disco adicional el número de movimientos se duplica y se necesita uno más, es decir que si llamamos D(n) el número mínimo de movimientos para n discos, tenemos que:

D(n+1) = 2D(n)+1. 

Esta sencilla observación nos permite demostrar, usando inducción, que la fórmula para los movimientos requeridos con n discos es: 

D(n) = 2n-1.

Así que si la leyenda fuese cierta, como son 64 discos los que hay que trasladar, los sacerdotes del Brahma deben llevar a cabo 264-1 movimientos; es decir que necesitarían de 1.844674407 × 1019 días. 

Para tener una idea del tiempo que resta para que desaparezca el mundo, supongamos que los sacerdotes pueden ir más deprisa, haciendo un movimiento por segundo en lugar de uno al día; en este caso requerirán el número de días calculado, dividido entre 365×24×60×60, o sea unos 585 mil millones de años. 

Como se observa, aún siendo cierta la leyenda, no debemos preocuparnos por el fin del mundo todavía.

@MantillaIgnacio 

 

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