Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

Conjuntos de Sidon

Vivir sin usar números es imposible, son tan imprescindibles que desde niños debemos aprender los primeros naturales, sin los cuales sería imposible tener una comunicación completa. Y la necesidad posterior de usar números negativos y fracciones nos obliga a distinguir otros conjuntos de números, especialmente el conjunto de los enteros y el de los racionales. También aprendemos que existen, aunque no los usemos con tanta frecuencia, otros conjuntos más especiales como son los irracionales. Un gran salto es el descubrimiento de los números imaginarios y en general el de los complejos.

Y dentro de todos esos conjuntos existen algunos subconjuntos que despiertan gran interés como es el caso del conjunto de los números primos y otros menos famosos como el de los trascendentes, pero también los hay bastante curiosos y menos conocidos. De unos de estos últimos justamente les quiero contar en esta nota. Se trata de los Conjuntos de Sidon, que son los conjuntos de números enteros positivos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas. 

Por ejemplo el conjunto 

{1, 3, 5, 11, 15, 22} 

no es un conjunto de Sidon pues hay sumas iguales de dos elementos del conjunto:

1+15 = 5+11,

pero el conjunto

{1, 2, 4, 8, 13, 21}

es de Sidon porque todas las sumas de dos de sus elementos son distintas.

Estos conjuntos fueron llamados así en honor al matemático húngaro Simon Sidon quien introdujo este concepto cuando realizaba investigaciones sobre las series de Fourier. 

En 1932 Sidon le planteó a uno de sus alumnos, que después se convertiría en el destacado matemático Paul Erdös, el siguiente problema:

¿Cuál es el mayor tamaño de un conjunto de números enteros positivos, todos ellos menores que un número dado, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto dan resultados distintos?

Este problema aritmético con sabor combinatorio cautivó al joven Erdös y desde entonces fue uno de sus temas favoritos y recurrentes de investigación. 

Construir conjuntos de Sidon no es difícil, pero lo interesante es construirlos, como lo plantea el problema, con el mayor número de elementos posible.

Si intentamos, por ejemplo, seleccionar la mayor cantidad de enteros positivos entre los 35 primeros de tal manera que todas las sumas de dos de ellos sean distintas, no tendremos ningún problema en seleccionar unos pocos, pero iremos encontrando dificultades a medida que vamos añadiendo más elementos. Para este ejemplo, con los 35 primeros enteros positivos, puede demostrarse que el conjunto

{1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35}, 

de solo 8 elementos, es un conjunto de Sidon de tamaño máximo. 

Una cota fácil de recordar para el tamaño máximo de los conjuntos de Sidon con elementos menores que un número n dado, es decir para saber el mayor número de enteros positivos que podemos seleccionar entre los n primeros con la propiedad de que todas las sumas de dos de ellos sean distintas es

y una más refinada es la que se obtiene con

Pero desde la aparición de estos conjuntos se planteó cómo sería su generalización; es decir, qué ocurre si se permite que haya dos sumas iguales, o tres sumas iguales. Y  este problema, después de casi 80 años, lo han resuelto en 2010 tres matemáticos: los españoles Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa y el húngaro Imre Ruzsa.

Recientemente se han encontrado aplicaciones de los Conjuntos de Sidon en las telecomunicaciones, en particular en el diseño de radares y de sonares y detectores de señales que pueden descubrirse con el cambio de frecuencias.

Los conjuntos de Sidon son un bonito ejemplo de cómo surgen conceptos matemáticos que se desarrollan dando origen a grandes trabajos, pero también a aplicaciones insospechadas.

@MantillaIgnacio

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