Conjeturas y contraejemplos

Un buen ejemplo lo constituye el último teorema de Fermat conjeturado por Pierre de Fermat en 1637 y demostrado 350 años después por Andrew Wiles. La conjetura de Fermat, según la cual «no existen números enteros positivos x, y, z que cumplan la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ para valores de n mayores que 2», resultó ser verdadera y por eso ahora es un teorema. 

Hay conjeturas, como la de Goldbach, formulada por el matemático alemán Christian Goldbach en 1742, que establece que «todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos», que aún nadie ha podido demostrar ni refutar.

Uno de los matemáticos más sobresalientes y célebres de nuestro tiempo ha sido el británico John Conway, quien falleció en 2020, a causa del Covid, en Princeton donde fue profesor durante sus últimos años de vida. 

El legado de Conway en varias ramas de las matemáticas lo constituyen contribuciones complejas, difíciles de transmitir, pero Conway también incursionó en la matemática recreativa y nos dejó algunos acertijos y juegos fáciles de entender, así como problemas abiertos y conjeturas.

Un ejemplo de uno de esos retos es la conjetura conocida bajo el nombre de «la escalada hasta un primo», que consiste en escoger un número entero positivo cualquiera que sea mayor que 1 y seguir los siguientes pasos:

1. Descomponer el número elegido en sus factores primos. Esto es posible siempre, gracias al Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que «cada número entero mayor que 1 es primo o puede expresarse como un producto único de números primos, salvo por el orden de los factores». Ejemplo, si el número elegido es 40, los primos de su descomposición son 2, 2, 2 y 5, ya que
   
   40 = 2³ · 5.
   
   
2. El segundo paso consiste en tomar esos números primos y sus exponentes, ordenarlos de menor a mayor tal como aparecen en la descomposición y concatenarlos formando un nuevo número. En el ejemplo, el nuevo número es el proveniente de 40 = 2³ · 5. O sea:
   
   235.
   
   
3. A partir de aquí, repetir los dos pasos anteriores con el nuevo número hasta conseguir un número primo. Para el ejemplo:
   
   235 = 5 · 47
   
   y aquí termina la escalada del número 40 hasta un primo porque el nuevo número formado con los factores primos 5, 4 y 7 es el número 547 que es primo.

Con esto podemos ahora formular y comprender mejor la conjetura de Conway conocida como «escalada hasta un primo»: Conway conjeturó que el paso 3 siempre es posible, es decir que cualquier número entero mayor que 1, sometido a este procedimiento, acabaría devolviendo un número primo. Es más, cuando propuso la conjetura llegó a ofrecer 1.000 dólares a quien demostrara su veracidad o falsedad.

Decidir sobre su veracidad o falsedad no es sencillo; hay números que parecen servir de contraejemplos, pero que no lo son; sin embargo su escalada hasta un primo sí constituye una tarea sumamente extensa y tediosa como para creer, al cabo de muchos pasos, que se trata de un contraejemplo; tal es el caso del número 20 por ejemplo, que requiere más de 100 pasos para escalar hasta un primo. Y frente a estos números, después de tantos pasos que hasta se había llegado a creer que se trataba de un contraejemplo y al final no lo era, viene la pregunta: ¿será verdadera la conjetura?

Se le atribuye a un aficionado a las matemáticas, de nombre James Davis, haber demostrado a mediados del año 2017, que la conjetura de Conway «escalada hasta un primo» es falsa. Davis logró encontrar un contraejemplo: el número 

d = 13.532.385.396.179 

que se devuelve a sí mismo al ser descompuesto en números primos, entrando en un bucle sin fin del que no podrá salir un primo. En efecto,

d = 13.532.385.396.179 = 13 · 53² · 3853 · 96179

y obsérvese que el proceso de escalar buscando un primo lo convierte en él mismo, pues el número 2 ocupa el quinto lugar entre sus dígitos y también esa posición como exponente del primo 53 en la descomposición del número, así que d es como un punto fijo que no consigue «escalar» hasta un número primo. 

Naturalmente este no es el único contraejemplo, y teniendo ya uno, a partir de él podemos construir otros. Por ejemplo, si tomamos los 4 dígitos de d, que siguen a los dos primeros (13) tenemos el número 5323 que es primo y si el dígito siguiente (8) lo usamos como exponente, entonces podemos aprovechar que el número que forman los últimos dígitos que quedan (5396179) también es primo, para escribir el número:

D = 13 · 5323⁸ · 5396179 = 45.214.884.853.168.941.713.016.664.887.087.462.487 

que al ser descompuesto en sus factores primos es el mismo número inicial anterior d, por lo tanto D es otro contraejemplo, un número que no puede escalar hasta un primo.

Generalmente el reto de demostrar la veracidad o la falsedad de una conjetura es grande. No siempre es fácil dar con un contraejemplo o con una demostración; ni siquiera es sencillo decidirse por lo uno o por lo otro y en la mayoría de los casos solo la intuición del matemático le induce a buscar la prueba o en cambio el contraejemplo.

@MantillaIgnacio

James (JD) Portegies es un matemático contemporáneo, actualmente profesor en la Universidad Tecnológica de Eindhoven