Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

El clásico problema de las pesas

El primer libro impreso de matemáticas recreativas del que se tiene registro fue publicado en 1612 bajo el título de Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres [Problemas placenteros y deliciosos que se hacen con los números]. Fue escrito por el matemático francés Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), quien es reconocido como un estudioso de la teoría de números, recordado también por haber traducido del griego al latín la Aritmética de Diofanto, libro sobre el que Fermat hizo la más célebre anotación al margen de las matemáticas, tema que expondré en un artículo futuro.

En 1624 el libro de Bachet de Méziriac fue reeditado y ampliado por el mismo autor; fue tal el éxito de esta publicación que se continuó reeditando hasta 1959 y los problemas que aparecieron en la edición original han sido reproducidos por muchos autores en libros de matemática recreativa que se publicaron posteriormente.

Uno de los problemas más populares que incluyó Bachet de Méziriac, de mis favoritos, es el clásico que se conoce como “Problema de las pesas”, que ha dado origen a muchas versiones de problemas de pesas y balanzas, muy frecuentes en la matemática recreativa. 

El problema es el siguiente: un mercader, que usa una balanza de dos platos, tiene una pesa de 40 libras que se le cae y al chocar con el suelo se rompe en cuatro pedazos. El mercader pesa esos trozos y se tranquiliza cuando nota que el peso de cada uno de ellos es un número entero y que, combinados, con ellos se puede conseguir cualquier peso entero entre 1 y 40 libras. ¿Cuáles son los pesos de esos pedazos?

Este bello problema tiene un origen muy lejano en el tiempo y aunque la inclusión en el libro de Bachet de Méziriac lo difundió ampliamente, su primera aparición ocurrió hace más de 800 años, en el Liber Abaci [Libro del ábaco] de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, libro que fue publicado en el año 1202.

Para resolver el problema de las pesas hay que entender que si se tiene una pesa de 7 libras y otra de 5, se pueden pesar, por ejemplo, 2 libras de tomates poniendo una pesa en cada plato y agregando tomates en el plato que tiene la de 5 libras, hasta tener el equilibrio de la balanza. Matemáticamente estamos realizando una resta simplemente:

7 libras – 5 libras = 2 libras,

que es lo mismo que sumar 2 libras al plato que contiene la pesa de 5 libras. 

Retomando el problema, tenemos un reto: con cuatro pesas aún no determinadas, combinadas correctamente, debemos poder pesar cualquier cantidad entera entre 1 y 40 libras.

El razonamiento sugerido por Bachet de Méziriac hace 400 años fue iniciar con dos pesas solamente para aumentar luego a tres y finalmente incluir la cuarta pesa. 

Siguiendo con el ejemplo de los tomates es evidente que con dos pesas de 1 y 3 libras podemos pesar entre 1 y 4 libras de tomates así: 

1 libra de tomates se consigue trivialmente colocando la pesa de 1 libra en un plato y los tomates en el otro hasta que la balanza quede equilibrada; esto lo vamos a indicar escribiendo: (1P ≡ 1T).

2 libras de tomates: (3P ≡ 1P+2T).

3 libras de tomates: (3P ≡ 3T).

4 libras de tomates: (1P+3P ≡ 4T).

Con esas dos pesas no se puede pesar otra cantidad de libras de tomates y si tuviéramos pesas de 2 y 3 libras, podríamos pesar 1, 2, 3 y 5 libras, pero no 4; así que escogemos las pesas de 1 y 3 libras y buscamos la tercera pesa teniendo en cuenta que debemos encontrar una pesa de tal manera que la diferencia con el máximo conseguido hasta ahora, que es 4 libras, sea el siguiente peso, o sea 5 libras, pues así se consiguen todas las cantidades entre 5 y el peso de dicha pesa. La pesa buscada debe ser de 9 libras  porque la diferencia 9-5 es justamente el peso máximo antes logrado 4. Tenemos entonces las siguientes estrategias para conseguir los pesos de los tomates:

5 libras de tomates: (9P ≡ 1P+3P+5T),

y continuamos así:

para 6: (9P ≡ 3P+6T),

para 7: (9P+1P ≡ 3P+7T),

para 8: (9P ≡ 1P+8T),

para 9: (9P ≡ 9T).

Pero además se pueden conseguir todos los pesos entre 9 y 9+4 = 13; en efecto:

(9P+1P ≡ 10T), (9P+3P ≡ 1P+11T), (9P+3P ≡ 12T), (9P+3P+1P ≡ 13T).

Hasta aquí hemos visto que con tres pesas de 1, 3 y 9 libras, es posible medir cantidades entre 1 y 13 libras. Como la pesa que se rompió era de 40 libras, el último pedazo debe pesar 

40-(1+3+9) = 40-13 = 27 libras.

Obsérvese que también podemos deducir este peso a partir del razonamiento siguiente: la pesa debe elegirse de tal forma que la diferencia de su peso X con con el máximo peso conseguido hasta ahora (o sea 13) sea el siguiente peso, que es 14. Como X-13 = 14, entonces X = 27. Por lo tanto la cuarta pesa debe ser de 27 libras y se deduce trivialmente que con ella se puede pesar hasta 27+13 = 40 libras.

A manera de ejemplo, si queremos pesar 20 libras de tomates, equilibramos los dos platos de la balanza así:

(27P+3P ≡ 9P+1P+20T).    

La respuesta al problema de las pesas es entonces la siguiente: los cuatro pedazos de la pesa de 40 libras pesan 1, 3, 9 y 27 libras.

Ahora bien, observando que esos valores coinciden con las potencias 0, 1, 2 y 3 del número 3, no se resiste la tentación de generalizar el problema, tarea que escapa al alcance de este artículo, pero que podrán realizar algunos lectores para comprobar que una quinta pesa debe pesar 81 libras y con ella se podrán pesar todas las cantidades hasta 40+81 = 121 libras.

Problemas sencillos, divertidos y clásicos como éste, son la base de muchos otros que pasan a engrosar el mundo de las matemáticas recreativas y dan origen a muchos más, como el que a continuación les dejo de tarea: 

En el mercado campesino se ofrece leche recién ordeñada que es almacenada en una cantina grande. Si la vendedora solo dispone de un recipiente de 4 litros y otro de 9 litros ¿cómo puede medir exactamente 6 litros?

 

@MantillaIgnacio

 

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