El camello de repartir camellos 

De hecho, algunas de las preguntas fundamentales de la teoría de la probabilidad surgieron a partir de situaciones planteadas por comerciantes, jugadores y matemáticos desde la Edad Media. Con el paso de los siglos, estas cuestiones dieron origen a ideas cada vez más profundas, hasta constituirse en una rama formal de las matemáticas que alcanzó una sólida fundamentación durante los siglos XIX y XX.

Entre los muchos acertijos matemáticos que han circulado a lo largo de los años, los llamados «problemas de reparto» ocupan un lugar especial. Sus reglas suelen ser fáciles de entender, pero las soluciones no siempre resultan evidentes. El problema que sigue pertenece a esta categoría y muestra cómo una situación aparentemente simple puede dar lugar a una solución tan ingeniosa como elegante.

La versión que les presentaré de este problema aparece en El hombre que calculaba, una de las obras más conocidas del escritor y profesor de matemáticas brasileño Malba Tahan, seudónimo de Julio César de Mello e Souza (1895-1974). Publicado por primera vez en portugués, con el título O homem que calculava, en 1938, este fascinante libro combina relatos de sabor oriental con problemas y curiosidades matemáticas que han cautivado a generaciones de lectores.

El matemático nómada Beremiz, protagonista de la historia, se encuentra con tres hermanos inmersos en una acalorada disputa. Tras la muerte de su padre, deben repartirse una herencia de camellos conforme a las instrucciones que este dejó establecidas, pero el reparto parece imposible. Será entonces cuando Beremiz intervenga para resolver el conflicto con una solución tan sorprendente como ingeniosa.

Al morir, el padre dejó 35 camellos y estableció en su testamento que el hijo mayor recibiera la mitad de la manada, el segundo la tercera parte y el menor la novena parte. Sin embargo, el reparto parecía imposible: ninguna de esas cantidades era un número entero de camellos. Incapaces de encontrar una solución que consideraran justa, los tres hermanos terminaron enfrascados en una acalorada discusión, de la que Beremiz sería testigo casual.

El mayor rechazaba recibir 17 camellos, pues entendía que la mitad de 35 son 17 camellos y medio. El segundo tampoco aceptaba 11, ya que esa cantidad no equivale exactamente a la tercera parte de la manada. Y el menor, por su parte, se negaba a conformarse con 3 camellos, pues tampoco correspondían a la novena parte de 35. Todo parecía conducir a un callejón sin salida: ¿cómo cumplir fielmente la última voluntad del padre sin sacrificar uno de los animales para repartirlo por partes

Entonces Beremiz tomó la palabra. Convencido de que el problema tenía solución, propuso un método de reparto que respetaba la voluntad del padre y evitaba dividir los camellos en partes. Con ese fin, ofreció incorporar provisionalmente a la manada su propio camello, el mismo que lo había llevado hasta allí. Así, los 35 camellos se convirtieron en 36, y el reparto pudo comenzar.

El reparto propuesto por Beremiz dejó satisfechos a los tres hermanos. El mayor recibió 18 camellos, uno más de los 17 y medio que le habrían correspondido según el reparto inicial; el segundo obtuvo 12, cifra superior a la tercera parte de 35; y el menor recibió 4, más de lo que le habría correspondido originalmente. Todos ganaban con la solución y, lo que era más importante, ninguno de los camellos había tenido que ser sacrificado.

Con este reparto, los tres hermanos aceptaron de buen grado la herencia tal como había sido dispuesta por su padre poco antes de morir.

Examinemos ahora con más detalle la solución propuesta por Beremiz. En realidad, repartió 18 + 12 + 4 = 34 camellos. Como la manada había pasado temporalmente de 35 a 36 animales, quedaron sin adjudicar 2 camellos. Uno de ellos era el que Beremiz había incorporado para facilitar el reparto y que, naturalmente, recuperó al final. El otro quedó como recompensa por su ingenio y como pago por haber logrado resolver un conflicto que parecía insoluble.

Pero la historia no termina ahí. Más allá de la astucia de Beremiz, este célebre problema encierra una interesante idea matemática. Veamos cuáles son las razones que hacen posible un desenlace tan sorprendente.

Observemos ahora el problema desde un punto de vista matemático. Las fracciones indicadas por el padre suman

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18.

Como 17/18 es menor que 1, la voluntad del padre no distribuía la totalidad de la herencia. De hecho, quedaba sin asignar la fracción restante, que es 1/18.

Al añadir Beremiz su propio camello, la manada pasa a tener 36 animales. En una manada de 36 camellos, la fracción 1/18 equivale exactamente a 2 camellos. Esos son precisamente los dos camellos que sobran al final del reparto: uno corresponde al animal que Beremiz había prestado temporalmente y el otro constituye la recompensa por su ingeniosa intervención.

También puede comprobarse que los tres hermanos no se disputaban realmente los 35 camellos completos, sino únicamente la fracción 17/18 de la herencia. En efecto,

(17/18) × 35 ≈ 33,06.

Es decir, las partes asignadas por el padre sumaban poco más de 33 camellos. 

Beremiz advirtió que, si conseguía trabajar con un número adecuado de camellos, el reparto podría hacerse sin recurrir a fracciones. Al elevar temporalmente la manada a 36 animales, obtenía que

(17/18) × 36 = 34,

exactamente el número de camellos que terminó distribuyendo entre los tres hermanos. De este modo, todos recibieron más de lo que esperaban, la voluntad del padre quedó satisfecha y todavía sobraron dos camellos. En eso consiste la elegancia de la solución propuesta por Beremiz.Como se puede concluir, los tres hermanos terminaron cediendo parte de su herencia sin darse cuenta, pero quedaron todos satisfechos. 

Como puede comprobarse, los tres hermanos quedaron satisfechos con la solución propuesta por Beremiz. Sin embargo, ninguno de ellos advirtió que las partes establecidas por su padre no agotaban la totalidad de la herencia, pues sumaban solo 17/18 de la manada. Precisamente en ese 1/18 restante se encuentra la clave matemática del problema y la explicación de por qué Beremiz pudo recuperar su camello y, además, recibir una recompensa por su ingeniosa intervención.

Después de haber entendido este bonito problema, propongo al lector resolver el siguiente ejercicio mediante un razonamiento semejante:

«Buscando la unidad nacional, tres partidos políticos han formado una coalición para gobernar el país. De acuerdo con los compromisos previamente adquiridos, deben repartirse 15 ministerios en proporción a la votación obtenida por cada uno. En las elecciones, el partido A obtuvo el 50 % de los votos; el partido B, la mitad de los votos de A; y el partido C, la mitad de los obtenidos por B. ¿Cuántos ministerios corresponden a cada partido?».

Como en el problema de los camellos, una aparente dificultad aritmética esconde una solución sencilla y elegante.

@MantillaIgnacio