El arte de plantear ecuaciones

Es común creer que el mayor talento matemático lo poseen quienes tienen la capacidad de resolver los problemas que involucran un buen número de incógnitas; es decir quienes son hábiles para manipular correctamente las  ecuaciones hasta encontrar una solución. Esta creencia no es del todo correcta, pues la mayoría de las ecuaciones matemáticas, por complejas que parezcan, han sido ampliamente estudiadas hasta descubrir, proponer o crear métodos que permiten dar con las soluciones buscadas y en muchos casos el uso de estos métodos no tiene el mismo mérito que plantear el problema y aplicar el método correcto conocido o probar uno nuevo.

A veces las mayores dificultades de la tareas matemáticas están en demostrar que existe una solución, y no hay necesidad de exhibirla; también puede ser un reto mayor probar que no hay solución posible o que no puede haber sino una única solución. 

Cuando estamos seguros de que una determinada ecuación tiene al menos una solución, acudimos a métodos analíticos o a métodos numéricos para encontrarla, bien sea en forma exacta o en forma aproximada. En el segundo caso utilizamos frecuentemente los algoritmos, la programación y la computación, pero los resultados que se obtienen con estas herramientas suelen complementarse con afirmaciones sobre la precisión lograda, para garantizar que el error introducido en la aproximación esté debidamente controlado o dentro de un margen aceptable y evitar así que se aparte considerablemente de la respuesta exacta, que ha sido imposible de encontrar de otra manera. 

Pero volviendo al principio, el talento matemático puede ser reconocido desde muy temprana edad entre quienes tienen la habilidad necesaria para plantear las ecuaciones y no solo entre quienes aprenden a resolverlas. Al igual que en todas las actividades, no basta con poder encontrar las respuestas, también hay que saber hacer las preguntas.

Para dominar ese arte de plantear ecuaciones se necesita traducir al idioma matemático cualquier problema con cantidades numéricas o que contenga relaciones, aún abstractas, entre ellas. Isaac Newton (1642 – 1725) incluyó este tema en su obra titulada “Aritmética Universal”, publicada en Cambridge en 1707, en la que presenta un “manual” para traducir correctamente al idioma algebraico los problemas matemáticos, antes de intentar cualquier cálculo. Unos bonitos ejemplos de esta forma de traducción los retoma y presenta el matemático ruso Yakov Perelman (1882 – 1942) en su libro titulado “Álgebra Recreativa”. Veamos un sencillo ejemplo, en una versión libre, suponiendo que se nos plantea el siguiente problema:

Un comerciante tenía inicialmente cierta cantidad de dinero. Se gastó el primer año 10 millones y aumentó su saldo en un tercio de éste. Al año siguiente volvió a gastar 10 millones y aumentó la suma restante en un tercio de ella. El tercer año gastó de nuevo 10 millones y después de que hubo agregado su tercera parte, el capital llegó al doble del inicial. ¿Cuál era el capital inicial?

El ejercicio de traducir el problema al lenguaje algebraico se desarrollaría así:

Un comerciante tenía inicialmente cierta cantidad de dinero: x

Se gastó el primer año 10 millones:
x-10 

y aumentó su saldo en un tercio de éste:
(x – 10) + (x – 10)/3 = (4x – 40)/3

Al año siguiente volvió a gastar 10 millones:
[(4x – 40)/3] – 10 = (4x – 70)/3

y aumentó la suma restante en un tercio de ella:
(4x – 70)/3 +[(4x – 70)/3]/3
= (4x – 70)/3 +(4x – 70)/9
= (16x – 280)/9

El tercer año gastó de nuevo 10 millones:
(16x – 280)/9 – 10 = (16x – 370)/9

y después de que hubo agregado su tercera parte:
(16x – 370)/9 + [(16x – 370)/9]/3
= (16x – 370)/9 + (16x – 370)/27
= (64x – 1480)/27

el capital llegó al doble del inicial
(64x – 1480)/27 = 2x
¿Cuál era el capital inicial?

Resolver la ecuación final planteada es ya una tarea sencilla. En efecto:
(64x – 1480)/27 = 2x, entonces:
64x – 1480 = 54x, luego:
10x = 1480, por lo tanto
x = 148.

La respuesta es entonces: el capital inicial era de 148 millones. Y puede agregarse que el capital actual, después de tres años, es de 296 millones. 

No podría dejar de presentarles un segundo ejemplo; consiste en un fascinante problema que acostumbro citar con frecuencia para mostrar el poder del lenguaje matemático. Se trata del epitafio que aparece en la tumba del notable matemático de la antigüedad Diofanto de Alejandría, con el cual se da una breve descripción de su vida y se pregunta por la edad a la que falleció. El epitafio es el siguiente:

“¡Caminante! Aquí yace Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! cuán larga fue su vida, cuya sexta parte ocupó su hermosa infancia; había transcurrido la doceava parte de su vida cuando de vello cubriose su barbilla. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y luego de un quinquenio más, le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito, que entregó a la tierra su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan solo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena bajó a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo”. 

Este famoso epitafio nos dice que Diofanto de Alejandría vivió x años, donde x es la solución de la ecuación:

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x,

es decir que falleció a la edad de x = 84 años. Pero adicionalmente nos indica que se casó a los 33 años, fue padre a los 38 y perdió a su hijo a los 80, cuando éste tenía apenas 42 años de edad. 

Las matemáticas son un bello arte que nos enamora con la búsqueda de la esquiva y simpática x.

@MantillaIgnacio