Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

El algoritmo del día del fin del mundo

El coronavirus ha acabado, el pasado 11 de abril, con la vida del gran matemático británico John Horton Conway, a quien su colega, Sir Michael Atiyah (Medalla Fields y Premio Abel de Matemáticas) le describió como “el matemático más mágico del mundo”. Conway se formó en Cambridge, donde fue profesor asistente, y desde 1987 se había vinculado a la Universidad de Princeton ocupando la misma posición que fue de John von Neumann. Conway se desempeñó como profesor de matemática aplicada y computacional y murió esta Semana Santa en Princeton a la edad de 82 años como una víctima más del COVOD-19 en Estados Unidos.

Fueron muchos los aportes de Conway a las matemáticas; hasta inventó un nuevo sistema numérico de “números surreales”; escribió libros sobre números y juegos y aportó en el desarrollo de la computación en paralelo y de lo que se conoce como análisis de algoritmos y autómatas celulares en la teoría de la computación. Pero muchas de sus contribuciones nacieron de su afición a los juegos. Es considerado uno de los mayores creadores y divulgadores de pasatiempos matemáticos 

Como un homenaje a Conway quiero compartirles una de sus interesantes contribuciones. Se trata del denominado “algoritmo del día del fin del mundo”, publicado en 1973, que en realidad no tiene nada qué ver con el Día del Juicio Final. El ingenioso algoritmo contiene un método que permite determinar qué día de la semana fue o será una fecha cualquiera del Calendario Gregoriano. Este es un problema al que ya me había referido en un artículo anterior (Ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/curiosidades-historicas-calendario). Pero la mayoría de los algoritmos usados para determinar el día de la semana en que cayó o caerá una fecha requieren de la programación, debido a los tediosos cálculos que exigen. El que creó Conway, en cambio, es tan ingenioso, que puede encontrarse manualmente la respuesta.   

La base del algoritmo desarrollado por Conway está en la facilidad con que se pueden recordar ciertas fechas que todos los años coinciden porque caen en el mismo día de la semana, es decir que si una de estas fechas es lunes, todas caen en lunes y si una es martes, todas lo son. Y para evitar la complicación que pueden traer los años bisiestos, se considera el 1 de marzo como el primer día de cada año, de tal manera que el último de febrero, bien sea 28 o 29, será el último día del año, que en realidad equivale al día 0 (cero) de marzo.

Las fechas que hay que recordar (y que siempre caen en el mismo día de la semana) son las siguientes:

4 de abril

9 de mayo

6 de junio

11 de julio

8 de agosto

5 de septiembre

10 de octubre

7 de noviembre 

12 de diciembre

2 de enero (del año siguiente)

13 de febrero (del año siguiente)

A primera vista, no es fácil retener estas fechas que aparentemente no guardan relación alguna; pero no es así, si dejamos de lado los meses de enero y febrero se observa que todas las que corresponden a meses pares, tienen la forma “día n del mes n”: 4/4, 6/6, 8/8, 10/10 y 12/12. Y las que corresponden a meses impares son 9/5, 11/7 y después lo contrario: 5/9 y 7/11 que pueden recordarse con la frase: ”Trabajo de 9 a 5, en el Seven-Eleven», una cadena de tiendas famosas en Estados Unidos.

Las dos fechas restantes, del año siguiente, son fáciles de retener: 2 de enero (claro, segundo día del año) y 13 de febrero, que corresponde a la víspera de San Valentín, el día 44 del año gregoriano.

El último día de febrero; es decir el llamado 0 (cero) de marzo y esas once fechas anteriores, caen siempre en el mismo día de la semana. 

Conway bautiza el día de la semana en que caen todas esas fechas con el nombre de Doomsday o “Día del Juicio Final”, de donde proviene el nombre del algoritmo y la clave para determinar el día de la semana en que cae una fecha determinada está entonces en saber cuál es el Doomsday del año. 

Como el calendario gregoriano, establecido desde 1582 se repite cada 400 años; es decir que el calendario de este año es idéntico al que hubo en 1620 y se repetirá en el año 2420;  es entonces útil tener presente el primer Doomsday de cada siglo, que Conway denomina como “marcador de siglo”. En el algoritmo se considerará como el primer año de cada siglo, el año terminado en 00.

Se puede verificar que en el siglo XIX (1800 – 1899) el Doomsday de 1800 o sea el “marcador de siglo” fue viernes. En el siglo XX (1900 – 1999) fue miércoles; en el siglo XXI (2000 – 2099) es martes; y en el siglo XXII (2100 – 2199) será domingo. El siguiente “marcador de siglo” será el mismo de cuatro siglos atrás, o sea el del siglo XIX que fue viernes. Para recordarlo puede ser útil saber que los únicos años de inicio de siglo; es decir, terminados en 00, que no son bisiestos son los múltiplos de 400, cuyo “marcador de siglo” es martes y le siguen entonces: domingo, viernes y miércoles. Nunca podrán ser marcadores de siglo los días lunes, jueves y sábados. Es decir:

1600 – 1699: martes
1700 – 1799: domingo
1800 – 1899: viernes
1900 – 1999: miércoles
2000 – 2099: martes
2100 -2199: domingo

Ahora viene la fórmula esencial que encontró Conway para determinar el Doomsday de cada año: llamemos “y” al número que me da los dos últimos dígitos del año, entonces:

La Regla del Fin de los Días

donde los paréntesis cuadrados [ ] indican la parte entera de la división indicada y la expresión “mod” significa módulo, o sea el residuo de la división. Esta fórmula tiene en cuenta las agrupaciones por docenas para meses, las correcciones que deben hacerse para los bisiestos y los 7 días de la semana como múltiplo para las cuentas de los días sobrantes.  

Comprobemos, como ejemplo, que el Doomsday de este año 2020, como sabemos, fue sábado (29 de febrero o “0” de marzo).

Doomsday del siglo o marcador: martes (para el siglo 2000 – 2099). 
[20/12] = 1. (Docenas: 1)
20 mod 12 = 8, porque 20 = (12×1)+8.  (Años sobrantes: 8).
[(20 mod 12)/4] = [8/4] = [2] = 2.  (Grupos de 4 años: 2).
(1+8+2) mod 7 = 11 mod 7 = 4. (Desplazamiento desde el marcador: 4).
Entonces: 4 + Doomsday de siglo = 4 + martes. Contamos hacia adelante 4 días; por lo tanto la cuenta (miércoles, jueves, viernes, sábado) arroja que nuestro Doomsday es sábado.

Ahora bien, si deseamos saber en qué día de la semana cae el 1 de mayo, buscamos un Doomsday cercano, que en este caso puede ser el 9 de mayo (9/5) que ya sabemos que debe ser un sábado también y contamos en múltiplos de 7 hacia atrás (en este caso hacia atrás porque elegimos un Doomsday posterior), o sea 9-7 = 2 de mayo. Esta fecha debe ser también sábado, luego el 1 de mayo es viernes.

Un segundo ejemplo puede ser el que consiste en encontrar el día de la semana en que nació Carl Friedrich Gauss, cuya fecha fue un día como hoy, el 30 de abril de 1777. 

Procediendo en la misma forma tenemos que el marcador del siglo XVIII fue domingo, entonces, como en este caso “y” es 77, tenemos que el doomsday del año 1777 fue:
(6+5+1) mod 7 + domingo = 5 + domingo = viernes.
Por lo tanto el doomsday de abril (4/4) fue también viernes, luego contando múltiplos de 7 hacia adelante hasta acercarnos a la fecha indicada (por ejemplo 7×3 = 21), tenemos que el (4+21 = 25) de abril fue también viernes, entonces el 30 (= 25+5) de abril será el día de la semana que resulta contando 5 hacia adelante: sábado, domingo, lunes, martes, miércoles. Luego Gauss nació un día miércoles.

Aprovechando estos días de cuarentena será un buen ejercicio para el entretenimiento de los lectores usar este algoritmo para comprobar el día de la semana de su nacimiento.

@MantillaIgnacio

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