Por estos días, cuando se anuncia la aparición de un desconocido virus en China y se alerta sobre el riesgo de una nueva epidemia, es pertinente señalar que también desde la matemática puede contribuirse al entendimiento, predicción, control y descripción de la propagación de enfermedades infecciosas como la que causaría el misterioso coronavirus que amenaza con provocar un nuevo brote de dimensiones insospechadas.
Aun cuando, desde el siglo XVIII hay trabajos matemáticos, diferentes a las estadísticas propias de las enfermedades, que han contribuido a la descripción y caracterización de poblaciones disminuidas a causa de enfermedades epidémicas, se considera que el primer modelo matemático para el estudio de una epidemia fue el presentado en 1927 por los investigadores escoceses W. O. Kermack y A. G. McKendrick. Este trabajo que popularizó los denominados modelos SIR ha sido ampliamente divulgado y validado en el diseño de políticas de salud pública en todo el mundo.
El modelo SIR divide la población total N, que se considera constante, en tres clases disyuntas: Susceptibles, Infectados y Removibles (N = S + I + R) de tal manera que podemos interpretar a S, I y R como funciones matemáticas dependientes de la variable del tiempo t y estudiar el comportamiento de las poblaciones a través de estas funciones en cualquier intervalo de tiempo. Dentro del grupo de los removibles se incluyen los individuos que han estado enfermos a causa de la epidemia y que se han recuperado o han muerto y que por lo tanto ya no pueden provocar nuevos contagios.
Es fácil imaginar que al comienzo del brote, en el tiempo t = 0, la población está constituida únicamente por susceptibles y que hay solo un individuo infectado. A medida que los días pasan, el contagio por contacto directo entre susceptibles e infectados es descrito matemáticamente indicando cómo varían tanto la población susceptible como la población infectada con respecto al tiempo, lo que conduce a plantear unas ecuaciones que involucran derivadas; es decir, ecuaciones diferenciales que muestran que la proporción de individuos susceptibles disminuye y que la transmisión de la enfermedad logra desde el comienzo un crecimiento de la población infectada hasta alcanzar el máximo valor, pero que después de un período de tiempo la transmisión se vuelve más lenta, influyendo en la disminución de los infectados por unidad de tiempo, mientras que los removibles crecen todo el tiempo que dura la epidemia.
Si al inicio de un brote infeccioso la tasa de transmisión excede la tasa de recuperación, la enfermedad se propagará porque la derivada dI/dt es positiva y determinar por ejemplo cuándo la función de los infectados alcanzará el máximo valor, puede resultar crucial para las autoridades de salud. El Número Reproductivo Básico (R0) es el parámetro más importante que se debe medir, pues es este el que nos indica el número de casos secundarios que puede generar un solo infectado; como es apenas obvio, solo si este número es mayor que 1, habrá una epidemia. Por eso en la etapa en que está la evolución de este nuevo virus, es esencial poder determinar el número de infecciones nuevas y el tiempo que dura la infecciosidad de una persona antes de recuperarse o morir.
Durante una pandemia el enfoque del control está encaminado a aminorar o detener la propagación del virus mediante estrategias para disminuir el valor de R0 cambiando la tasa de transmisión, bien sea cercando a la población susceptible o disminuyendo la infecciosidad con medicamentos antivíricos, mientras se logra desarrollar una vacuna que pueda evitar nuevos brotes futuros o que disminuya el tamaño de la población susceptible.
El valor del Número Reproductivo Básico es determinante y cuando este es cercano a 1 podemos alertar que estamos en el umbral de una pandemia. Cuando es bastante mayor que 1, puede observarse cómo, a medida que aumenta la tasa de transmisión, el ritmo de propagación de la epidemia aumenta extraordinariamente. Los resultados de las simulaciones matemáticas a partir de estos parámetros pueden indicar con precisión, cuánto tiempo durará la propagación, a qué velocidad se propaga la enfermedad, en qué momento se alcanzará el momento más crítico y habrá el mayor número de infectados o cuál será el tamaño de la población afectada finalmente.
Cuando el período de latencia es largo, puede considerarse una cuarta clase dentro de la población que se acostumbra denotar como E, de individuos expuestos que aún no son infectados, pero que sí pueden transmitir la enfermedad a los susceptibles; esta consideración da origen a modelos SEIR que involucran un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales.
Si aceptamos que la predicción es el arma más poderosa para alertar, y que combinada con la vacunación permite controlar y disminuir el número de víctimas de una epidemia, no podemos despreciar la importante información que los modelos matemáticos aportan para el estudio de la propagación de una enfermedad. En la actualidad los estudios de la salud son multidisciplinarios y siempre es conveniente reforzar los tratamientos de los pacientes con el conocimiento que pueden aportar otras disciplinas como las matemáticas, que son de uso libre y de consumo obligatorio.
@MantillaIgnacio