La formulación de problemas y acertijos como recurso para motivar el interés por la matemática es para quienes queremos hacer divulgación, un permanente desafío personal. Proponer problemas adecuadamente, dirigidos a un público amplio, sin que el grado de dificultad o los prerrequisitos exigidos para dar con la solución sean una barrera insalvable, es el mayor reto, comparable con la dificultad a la que nos enfrentamos los profesores a la hora de evaluar con un buen criterio y de proponer exámenes adecuados para una calificación justa.
Es común encontrar en las redes sociales acertijos virales pero de aporte nulo, que pueden llevar a resultados contraproducentes por tratarse de problemas tramposos, ambiguos, que esconden algún extraño truco que hay que descubrir por medio de magia para poder resolverlos o que no requieren capacidad matemática alguna pero que sí en cambio tienen un efecto negativo, pues terminan desanimando a quien intenta dar con la respuesta, reforzando la falsa idea de que las matemáticas no son para todo el mundo.
Pero también existen ejemplos de acertijos, que aunque no son triviales, encierran una lógica genial que nos sorprende y de la que podemos aprender mucho. Tal es el caso de los problemas que exponía regularmente el gran divulgador de las matemáticas Martin Gardner (1914-2010), quien mantuvo una columna entre 1956 y 1986 en la revista Scientific American, en una sección dedicada a juegos matemáticos.
Algunos de los problemas publicados por Gardner son obra del más famoso creador de acertijos de todos los tiempos, Raymond Merril Smullyan (1919-2017), llamado el “Gandalf de las Matemáticas” (debido a su aspecto físico).
Por ejemplo es muy conocido el “acertijo del prisionero”, cuya creación se atribuye a Raymond Smullyan, en el que un preso está encerrado en una celda que tiene dos puertas: una conduce a la hoguera y la otra a la libertad. Cada puerta está custodiada por un guardia. Uno de ellos dice siempre la verdad y el otro miente siempre, pero el prisionero no sabe cuál es cada uno. Ante la oportunidad de formular una pregunta a cualquiera de los guardias, ¿cuál debe ser la pregunta correcta para poder elegir la puerta que le lleve a la libertad?
La solución no es tan difícil. Lo que debe hacer el preso es preguntar a uno cualquiera de los guardias:
“¿Qué diría su compañero si le preguntara cuál puerta conduce a la libertad?”
Al preguntárselo al guardia que siempre miente, este le indicará la puerta equivocada porque él miente sobre la respuesta que daría su compañero. Y al preguntárselo al guardia que siempre dice la verdad también apuntará a la puerta que conduce a la hoguera porque responde con la verdad de lo que diría su compañero que miente siempre. Por lo tanto el prisionero, en cualquier caso, debe elegir la otra puerta.
De los muchos acertijos de este estilo, de autoría de Smullyan, he elegido uno especial para compartirles a continuación.
Se trata de un fabuloso acertijo ideado por Smullyan y popularizado por el matemático George Boolos. Este acertijo apareció por primera vez en el diario italiano la Reppublica, el día 16 de abril de 1992 y luego en The Harvard Review of Philosophy en 1996 bajo el título de “El acertijo más difícil del mundo” y desde entonces fue compartido y estudiado masivamente, introduciéndole algunas modificaciones que han aumentado su grado de dificultad para resolverlo.
El acertijo, en una versión personal y en la forma más simple, consiste en descubrir las identidades de dos poderosos empresarios llamados Vertancio y Falcracio, haciendo una pregunta cuya respuesta sea SÍ o NO. Uno de los empresarios, Vertancio, dice siempre la verdad y el otro, Falcracio, miente siempre. Aun cuando los empresarios entienden perfectamente el español, contestarán todas las preguntas con los monosílabos “BIS” o “PUM” que significan SÍ o NO, pero no se sabe qué significa cada palabra.
Obsérvese que si en lugar de “BIS” o “PUM” respondieran SÍ o NO, entonces sería muy sencillo saber quién es cada uno; bastaría preguntar a cualquiera de ellos: “¿Te estoy hablando a ti, cierto?”. Si responde SÍ es Vertancio y si responde NO es Falcracio.
Ahora bien, si los empresarios responden con BIS o PUM, puesto que no sabemos cuál de estas dos palabras es SI y cuál es NO, debemos preguntar algo menos obvio a uno cualquiera de los dos empresarios.
La lógica matemática permite formular una de esas preguntas, con dos proposiciones conectadas, de tal manera que la verdad de la respuesta se establece cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas falsas, como por ejemplo la siguiente pregunta, dirigida a cualquiera de los dos empresarios:
“¿BIS es SÍ, si y sólo si, te estoy hablando a ti?”
Veamos por qué esta pregunta es suficiente para descubrir la identidad de los empresarios. Las dos proposiciones son «BIS es SÍ» y «Te estoy hablando a ti»; y la proposición será verdadera cuando ambas sean falsas o ambas verdaderas.
- Si el empresario preguntado es Vertancio y BIS es SÍ entonces responderá BIS porque ambas son verdaderas y Vertancio no miente.
- Si el empresario es Vertancio y BIS es NO entonces responderá BIS porque una de las proposiciones es falsa y por lo tanto la proposición es falsa.
- Si el empresario es Falcracio y BIS es Sí entonces responderá PUM porque Falcracio miente y ambas son verdaderas; es decir la proposición es verdadera.
- Si el empresario es Falcracio y BIS es NO entonces responderá PUM porque la proposición es falsa, pero él miente.
Por lo tanto, si la respuesta del interrogado es BIS, se trata del empresario Vertancio y si la respuesta es PUM, es Falcracio quien responde. Pero aún no sabemos si BIS es SÍ o NO, sin embargo esto es muy fácil de determinar si se permite una segunda pregunta, dirigida esta vez a Vertancio:
“¿Te estoy hablando a ti, cierto?
Cualquiera sea la respuesta BIS o PUM, esa será SÍ.
Otra versión más complicada del acertijo consiste en considerar que en lugar de dos, son tres los empresarios, pero el nuevo empresario, Aleatolio, responde aleatoriamente SÍ o NO con las mismas palabras BIS o PUM, unas veces miente y otras veces dice la verdad, sin que uno pueda saberlo. Para determinar la identidad de los tres se pueden hacer tres preguntas, cada una formulada a un único empresario aunque las tres o dos de ellas pueden hacerse al mismo empresario. La mayor dificultad proviene claramente de la presencia de Aleatolio que nos dará una respuesta sin información alguna y del hecho de que no sepamos si BIS es SÍ o NO.
La solución de este nuevo acertijo requiere de un espacio mayor y puede ser un gran reto para los lectores, así como tema suficiente para un nuevo artículo.
@MantillaIgnacio