El acertijo de las doce monedas

La moneda falsa tiene un peso distinto al de las auténticas, aunque de antemano se desconoce si es más pesada o más liviana. La única herramienta disponible para detectarla es una balanza de dos platillos, y el reto consiste en identificarla en no más de tres pesadas.

Para convertir este acertijo en una oportunidad de descubrir una estrategia, reduciré inicialmente el problema a ocho monedas y, además, para mayor facilidad, supondré que de antemano se sabe que la moneda defectuosa pesa un poco más. El nuevo reto consiste en averiguar, en no más de dos pesadas, cuál es la moneda falsa.

Para resolver este problema, numeramos las monedas del 1 al 8 y colocamos en la balanza dos grupos de tres monedas: en el platillo izquierdo las {1, 2, 3} y en el derecho las {4, 5, 6}. Pueden darse tres situaciones:

• •Si pesa más el grupo {1, 2, 3}: la moneda falsa está allí. Se pesan únicamente las monedas {1} y {2}, colocando cada una en un platillo distinto. Si una resulta más pesada, esa es la falsa; si pesan lo mismo, la falsa es la {3}.

• •Si pesa más el grupo {4, 5, 6}: se procede de manera análoga, pesando las monedas {4} y {5}. Si una pesa más, esa es la falsa; en caso contrario, la falsa es la {6}.

• •Si ambos grupos pesan igual: la moneda defectuosa no está en ninguno de ellos, por lo que debe ser la {7} o la {8}. Se pesan estas dos y la más pesada será la falsa.

Hemos considerado todos los casos posibles y, en no más de dos pesadas, logramos identificar la moneda falsa.

Ahora pasemos al caso de las doce monedas, pero considerémoslo en la forma más sencilla: suponiendo, como antes, que la falsa pesa más que las auténticas y que disponemos de hasta tres pesadas. Con estas condiciones, se pueden colocar en un platillo de la balanza las monedas {1, 2, 3, 4, 5, 6} y en el otro las {7, 8, 9, 10, 11, 12}. La balanza necesariamente se desequilibrará, y el grupo más pesado contendrá la moneda falsa. Esta primera pesada permite reducir la incertidumbre a solo seis monedas, que son las que se encuentran en el platillo de mayor peso. Supongamos que ese platillo corresponde al primer grupo; si fuera el segundo, el procedimiento es análogo.

En la segunda pesada se toman tres de esas monedas ({1, 2, 3}) y se colocan en un platillo, mientras que las otras tres ({4, 5, 6}) se ponen en el otro. De este modo, el problema se reduce a considerar únicamente las tres monedas que resulten más pesadas.

En la tercera pesada, al quedar tres monedas sospechosas, se comparan las {1} y {2}. Si un platillo se inclina, allí se encuentra la moneda falsa; si hay equilibrio, la falsa es la {3}.

Hasta aquí hemos resuelto el acertijo en su forma simplificada. Pasemos ahora al caso general de las doce monedas, en el que no sabemos de antemano si la falsa pesa más o menos que las auténticas. Ojalá, en este punto, los lectores intenten encontrar la solución antes de conocerla.

Procedemos formando tres montones de cuatro monedas cada uno y comparamos los grupos {1, 2, 3, 4} y {5, 6, 7, 8}, colocando cada uno en un platillo de la balanza. El resultado puede ser:

1. Los platillos están en equilibrio.

La moneda falsa se encuentra entre las cuatro monedas {9, 10, 11, 12}, que no fueron pesadas, y aún disponemos de dos oportunidades para identificarla.

Usamos una moneda auténtica (por ejemplo, la {1}) y realizamos la siguiente pesada colocando en un platillo las monedas {1, 9} y en el otro las {10, 11}.

• A. Si hay equilibrio, la defectuosa es la {12}. En la última pesada la comparamos con la {1} para determinar si      pesa más o menos.
  
  
• B. Si {1, 9} pesa menos que {10, 11}, entonces o bien {9} es falsa y pesa menos, o bien {10} o {11} es falsa y pesa más. En la última pesada comparamos {10} con {11}: si hay equilibrio, la falsa es {9} y pesa menos; si no, la más pesada es la defectuosa.
  
  
• C. Si {1, 9} pesa más que {10, 11}, se aplica el mismo razonamiento anterior, pero con los papeles invertidos.
  
  

2. Los platillos están desequilibrados.

En este caso tenemos ocho monedas sospechosas y cuatro auténticas. Supongamos que el platillo con {1, 2, 3, 4} es el más alto (menor peso). Agregamos una moneda buena, la {9}, al grupo de las ocho y formamos tres montones de tres monedas cada uno: {1, 5, 9}, {2, 3, 7} y {4, 6, 8}.

En la segunda pesada comparamos los dos primeros montones:

• A. Si hay equilibrio, la falsa está en {4, 6, 8}. En la última pesada comparamos {6} y {8}: si hay equilibrio, la defectuosa es {4} y pesa menos; si no, la más pesada es la falsa.
  
  
• B. Si {1, 5, 9} pesa más que {2, 3, 7}, entonces o bien la {5} es falsa y pesa más, o bien {2} o {3} es falsa y pesa menos. Comparamos {2} y {3}: si una pesa menos, esa es la defectuosa; si hay equilibrio, la falsa es la {5}.
  
  
• C. Si {1, 5, 9} pesa menos que {2, 3, 7}, significa que o bien la {1} pesa menos o bien la {7} pesa más. En la última pesada comparamos cualquiera de ellas con una moneda auténtica ya identificada, y así determinamos cuál es la falsa y si pesa más o menos.

Hemos considerado ya todos los casos posibles y, con tres pesadas, hemos logrado identificar la moneda falsa y determinar si pesa más o menos que las auténticas, dando así solución completa al reto planteado.

Este mismo acertijo puede intentarse con trece monedas. Aunque es posible identificar la moneda falsa en solo tres pesadas, en este caso no siempre será posible determinar si la defectuosa pesa más o menos que las auténticas.

@MantillaIgancio