Existe una tendencia a manejar las cifras como si su comportamiento fuese siempre lineal. Claro, si un metro son 100 centímetros, entonces dos metros son 200 centímetros. Sin embargo, aun cuando lo hagan inconscientemente, las personas, en su mayoría, dominan perfectamente unas escalas no lineales, pero desconocen, se sorprenden y no entienden otras similares que deberían ser también fáciles de comprender.
Empiezo por hablar de las que se dominan, y acudo a un par de sencillos ejemplos para ilustrarlo. Cuando nos acercamos a comprar un aguacate en la esquina y al preguntar el precio, el vendedor dice: “estos son a 2000, lleve tres en 5000”, nadie se pregunta por qué, si los aguacates son a 2000, tres no cuestan 6000 sino 5000. Esa escala, en la que claramente triplicar el producto no implica multiplicar por tres el precio, la entendemos todos fácilmente y la usamos para regatear en el mercado. Ojalá intenten ustedes hacer el ejercicio de explicárselo a un niño.
Igualmente, cuando preparamos una receta es común que usemos escalas similares en forma empírica pero correcta. Para preparar una taza de arroz se necesitan dos tazas de agua, pero aprendemos con facilidad que si son dos tazas de arroz las que vamos a preparar, basta con tres tazas de agua, “de lo contrario el arroz queda sopudo”, sentencian los que saben.
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Aquí la cuestión es más compleja: la suscripción por un año cuesta 10 y la de dos años cuesta 15, claramente la escala no es lineal y me estaría ahorrando 5, correspondientes al 50% de 10, que es el costo del primer año; pero en la parte final dice: “ahorre 77%”. Tuve entonces que deducir que el verdadero costo inicial por los dos años debe ser aproximadamente de 45, lo que ya indica una escala menos fácil de comprender.
La cadena de ejemplos es amplia, pero veamos ahora otros, muy comunes y útiles, que a la mayoría le cuesta entender. Uno de mis favoritos es el de la escala de la temperatura, medida en grados centígrados o Celsius, cuando son convertidos a grados Fahrenheit. Lo primero que hay que recordar, para tenerlo como referencia indispensable, es que al nivel del mar el agua hierve a 100 grados centígrados (100 ºC) y que está aceptado que se congela a los 0 °C.
Pero en la escala de Fahrenheit el agua se congela a 32 grados (32 ºF) y hierve a 212 ºF, lo que arroja una diferencia de 180 (= 212-32) y no de 100 como en la escala de grados Celsius. Por lo tanto cada grado en la escala Fahrenheit equivale a 100/180 (= 5/9) grados en la escala Celsius y cada grado en la escala Celsius es igual a 180/100 (= 9/5) grados en la escala Fahrenheit.
Lo anterior quiere decir que para convertir N ºC en grados Fahrenheit hay que multiplicar N por 9/5 y al resultado sumarle 32; así por ejemplo, para transformar 30 ºC a grados Fahrenheit, procedemos así:
30 x (9/5) + 32 = 86
o sea que
30 ºC = 86 ºF.
Y si queremos convertir M ºF en grados centígrados debemos restar 32 a M y el resultado multiplicarlo por 5/9. Así por ejemplo, para llevar 59 ºF a grados Celsius hacemos:
(59 – 32) x (5/9) = 15
es decir que
59 ºF = 15 ºC.
Obsérvese qué interesante resulta comprobar que aun cuando en la escala Celsius, 30 ºC es el doble de la temperatura de 15 ºC, en la escala Fahrenheit el valor correspondiente a 30 (= 86 ºF) no es el doble del correspondiente a 15 (= 59 ºF); así que el doble de 15 no siempre es 30 y, como dice el título, el doble de 3 no siempre es 6; todo depende de la escala en la que estemos midiendo.
Con los terremotos pasa lo mismo, la intensidad de un terremoto de magnitud 8 (en la escala Richter) no tiene el doble de la intensidad de un terremoto de magnitud 4 en la misma escala, sino que es 10000 veces mayor, porque la escala de Richter es una escala logarítmica, en base 10.
Para entenderlo mejor, recordemos que el logaritmo del número x es aquel número y tal que 10 elevado a la potencia y nos da x como resultado:
log(10) = 1, porque 10 elevado a 1 es 10
log(100) = 2, porque 10 elevado al cuadrado es 100
log(1000) = 3, porque 10 elevado al cubo es 1000
log(10000) = 4, porque 10 elevado a la 4 es 10000.
Mientras que x aumenta de 10 a 100, su logaritmo solo aumenta de 1 a 2 y para llegar a 3, x debe alcanzar el valor de 1000, así que x aumenta mucho más lentamente que su logaritmo.
En la escala de Richter eso es justamente lo que pasa: cada “grado” más, indica que se multiplica por 10 el valor anterior. Esto significa que un terremoto de grado 5, es 10 veces mayor que uno de grado 4; uno de grado 6 es 100 veces más intenso que el de grado 4; uno de grado 7, libera 1000 veces más energía; y el de grado 8 será entonces, como ya lo dijimos, 10000 veces más intenso.
Comúnmente las epidemias se comportan de forma tal, que el uso de los logaritmos resulta adecuado para describir su comportamiento en una población susceptible. Si en una semana se presentan los primeros 10 casos de infectados y en dos semanas ya son 100 y luego, al terminar la tercera semana, hay 1000 infectados, la escala logarítmica es la indicada para describir gráficamente estas cifras en aumento.
Como se puede deducir fácilmente, muy ligado al tema de las escalas logarítmicas debe estar el del crecimiento exponencial, de cuyo significado hablé hace un tiempo (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/significa-crecimiento-exponencial).
@MantillaIgnacio