La vaca esférica

Publicado el eltrinador

Estamos hechos de infinito.

“El infinito comenzó como idea metafísica y esotérica. De hecho ha estado presente en la mayor parte de los pensamientos de las culturas humanas como una forma de hacernos a la idea de que algo es terriblemente grande.”

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Hace unos cuatro mil años los ingenieros de Babilonia, actualmente Iraq, se preguntaron sobre la relación entre el diámetro y la circunferencia de un círculo. Las primeras mediciones, con cinta métrica permitieron realizar la aproximación a esta razón: 22/7, aproximadamente 3.142. Sin saberlo, habían abierto uno de los problemas más célebres y que, según que hoy lo sabemos, nunca se podrá solucionar: ¿Cuánto vale la razón circunferencia/diámetro de un circulo? aquello que hoy conocemos como número π (pi).

Varios hombres han dedicado gran parte de su vida a calcular la mayor cantidad de las cifras de este número y después de la invención de computadores  digitales, se han conseguido cantidades aterradoras. El record actual es de 13,300,000,000,000 cifras. Esta cantidad es tan grande que si la escribiéramos con letras de 1 cm de ancho, sería tan larga que cubriría la distancia que nos separa del Sol.

Aunque la cantidad de dígitos calculados es impresionante, los matemáticos actuales están tan lejos, como los babilonios, de encontrar la última cifra de este número. La razón: las cifras de π son infinitas y el infinito está tan lejos de 1 como de 13,300,000,000,000.

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Pi Island by fdecomite licensed under CC BY 2.0

La cifras de π no solo infinitas, sino que no se pueden calcular en procedimientos finitos, es decir, es trascendental. Para darnos una idea de esta propiedad, un número de cifras infinitas como 0.33333… puede escribirse a partir de, solamente, dos enteros (1 y 3 pues 1/3=0.3333…). De esa manera, 1/3 a pesar de tener cifras infinitas, no es un número trascendental. Por el contrario, se necesitan infinitos pasos para obtener o predecir algún patrón en las cifras de π.  Por lo tanto es trascendental.

Aproximándose al infinito

El infinito comenzó como idea metafísica y esotérica. De hecho ha estado presente en la mayor parte de los pensamientos de las culturas humanas como una forma de hacernos a la idea de que algo es terriblemente grande. Naturalmente, encontró en las matemáticas un campo como una importante herramienta de cálculo pero, en general, el infinito es una simple idea y parece que no representa en realidad nada en la naturaleza. En nuestra vida cotidiana vemos pocas cosas infinitas, la cantidad granos de arena en la playa es enorme pero no ilimitado. La cantidad de átomos en un objeto contiene más de 25 cifras pero, a diferencia de las cifras de π, estas no son infinitas. Entonces, ¿Existe algo realmente infinito en la naturaleza?

Una de las primeras personas que intentaron comprender el infinito como una propiedad de la naturaleza fue el filósofo griego Zenón hacia el 150 a.C. Él propuso el siguiente experimento mental: Aquiles, el hombre más veloz de toda Grecia, desea alcanzar a una simple y lenta tortuga que está 10 metros delante de él moviendose lentamente. Supongamos que Aquiles se mueve 10 veces más rápido que ella. Así, cuanto Aquiles ha recorrido los 10 m que lo separaban inicialmente de la tortuga, esta ha recorrido 1 m. Cuando Aquiles recorre este 1 m, la tortuga ha recorrido 10 cm. Cuando Aquiles recorre 10 cm, la tortuga ha recorrido 1 cm y así. Según Zenón, Aquiles nunca alcanzará la tortuga pues mientras Aquiles recorre la distancia que lo separa de la tortuga, ésta ya se ha adelantado una fracción de esa distancia. Aís, este procedimiento puede extenderse indefinidamente.

En este video puede verse un poco mejor la idea (activar subtítulos):

Este pensamiento es una paradoja pues no es lo que vemos en la realidad. Cuando alguien quiere alcanzar una tortuga, simplemente lo hace y ya, sin necesidad de tanta parafernalia. ¿Qué está mal en el pensamiento de Zenón? lo responderé más adelante.

El cero absoluto, la tortuga de zenon contemporánea.

Hacia 1665, el físico inglés Robert Boyle (1627-1691) observó que los gases, al enfriarse, ocupan menos espacio. Bajo esta evidencia, pensó que si un gas se enfría lo suficiente, se contraerá tanto que eventualmente no ocuparía espacio alguno. Esta temperatura la llamó “cero absoluto” y situó su valor en unos -273ºC. A partir de esta idea, se propuso la escala de temperatura absoluta o “Kelvin” que corresponde a la temperatura medida con respecto al cero absoluto (0 K). Así, por ejemplo, 0ºC corresponden a 273 K aproximadamente.

Con el desarrollo de la termodinámica hacia el siglo XIX, se perfeccionaron refrigeradores utilizando gases. La idea detras del refrigerador es hacer alternar el gas entre estados termodinámicos, definidos por presiones y volúmenes dados, de manera que se puede extraer  calor de un sitio (donde el gas está en un estado) y llevar este calor a otro sitio (donde se cambia el estado del gas). Actualmente se han desarrollado refrigeradores que no dependen de gases. Sin embargo, la idea para enfriar un objeto es la misma, hacerlo alternar entre estados termodinámicos para trasportar el calor del objeto al exterior.

Boyle y muchos físicos después de él pensaron que solo era cuestión de tiempo hasta alcanzar el cero absoluto, sin embargo, al igual que la tortuga de Zenón, descubrimos que mientras intentamos alcanzarlo, el cero absoluto se hace más inalcanzable.

A principios del siglo XX, el químico Walther Nernst (1864-1946) descubrió que a medida que un cuerpo se enfría a temperaturas muy, muy cercanas al cero absoluto, su capacidad calorífica (la temperatura que cambia el cuerpo al cambiar su energía) también se hace cero o en casos especiales, se hace constante. Como resultado, postuló lo que hoy llamamos “tercera ley de la termodinámica”: no se podrá alcanzar el cero absoluto en un número finito de pasos. Por esta contribución, Nernst ganó el premio Nobel de química en 1920.

No deseo entrar más en tecnicismos pero la idea se representa en la siguiente imagen:

Comparación de la paradoja de Aquiles y la Tortuga con la meta de alcanzar el cero absoluto.
Comparación de la paradoja de Aquiles y la Tortuga con la meta de alcanzar el cero absoluto.

La línea roja representa el proceso que nos permite disminuir la temperatura. Este proceso, permite alternar el sistema entre dos estados (X1 y X2) para intentar llegar al cero absoluto. La tercera ley de la termodinámica nos dice que cualquier proceso lleva la capacidad calorífica al mismo valor: cero o en casos especiales, a una constante que no depende del proceso sino del material.

El hecho es que si se hace alternar el sistema entre dos estados que tienden a una constante, como el problema de Aquiles y la tortuga se requerirán, también, un número infinito de pasos para llegar al punto deseado. Así, a medida que disminuimos la temperatura, nos será más difícil disminuirla aún más.

Si la capacidad calorífica del objeto dependiera del estado (X1 o X2) y no se anulara en el cero absoluto, esta temperatura se conseguiría fácilmente escogiendo los parámetros de manera adecuada (imagen a la izquierda). Sin embargo esto no es lo que pasa (imagen a la derecha) y por tanto, al igual que lo matemáticos que calculan π y Aquiles intentando alcanzar la tortuga, jamás podremos llegar al cero absoluto.

Los métodos más sofisticados permitieron, en 2003, alcanzar el record de temperatura más cercana al cero absoluto: 0.00000000045 K. Pero llegar a cero, imposible. Lo siento Hyoga de Cisne, pero en este universo se respetan las leyes de la termodinámica!.

Sumando infinitos caminos

Volviendo a la paradoja de Zenón, cuando queremos alcanzar una tortuga, a diferencia del cero absoluto, lo hacemos y ya. No nos devanamos los sesos. ¿Qué está mal en el pensamiento de Zenón? Básicamente el error es pensar que la suma de un número infinito de elementos (en este caso intervalos de tiempo) da como resultado algo infinito. Eso no siempre es verdad y es un hecho ampliamente utilizado en ciencias naturales, economía y matemáticas.

La solución, expuesta hacia 1670 por el matemático James Gregory (1638-1675) consiste en sumar las distancia que recorre Aquiles cada vez: 10 m + 1 m +10 cm + 1 cm + 10 mm + 1 mm + ….  Al final, nos daremos cuenta que tendremos que sumar distancias extremadamente pequeñas incluso más que un átomo y llegaremos a un punto en que no tendrá sentido sumar más términos porque, a menos que necesitemos una exactitud infinita, llegaremos a una buena aproximación de la respuesta y esta no sería infinita: Aquiles alcanzará la tortuga cuando recorra 11.1111.. m. Si corre a 10 m/s, entonces demorará 1.111.. s. Tan fácil y sin quemarnos las neuronas, lo siento Zenón.

El equivalente moderno a la suma de los infinitos pasos de Aquiles, lo podemos ver en la teoría cuántica de campos. Sobre eso hablé un poco en esta entrada. La idea básicamente comienza en la pregunta de “para pasar de un punto A a un punto B ¿Qué camino sigue una partícula? y ¿Por qué sigue ese camino y no otro?”. La mecánica clásica, utilizando leyes de Newton, nos permite predecir que una partícula seguirá únicamente un camino dadas las fuerzas y condiciones iniciales, sin embargo, para un electrón, la velocidad y el momentum (masa*velocidad) no tienen sentido pues no se puede saber la posición y la velocidad de una partícula al mismo tiempo.

La respuesta dada por Richard Feynman, Julian Schwinger y Shin’ichirō Tomonaga (que les valió el premio nobel de física en 1965) siendo simplistas, es que un electrón pasa por el camino previsto por la mecánica clásica y de manera simultánea, pasa por todos los caminos posibles alrededor de esta trayectoria. Los caminos permitidos, a pesar de ser infinitos, son aquellos para los que las variaciones de desplazamiento y momentum no cambien mucho con respecto a un valor muy pequeño: la constante de Planck. Un objeto grande no puede desviarse mucho pues su masa es tan grande que si pasa por otro camino muy diferente al clásico, las variaciones en su desplazamiento y momentum serían muy grandes con respecto a la constante de Planck. El electrón es tan liviano que existe gran posibilidad de que el electrón tome varios caminos muy diferentes simultáneamente. Por ejemplo un electrón puede girar, a la vez, alrededor de dos átomos diferentes formando, así, un enlace químico.

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Para resolver las ecuaciones de la mecánica cuántica, entonces, es necesario sumar todos los infinitos caminos posibles que puede seguir una partícula. Al igual que en la paradoja de Zenón, en algunos casos, puede obtenerse resultados finitos. Todo, simplemente porque no siempre que se sumen infinitos términos, el resultado es infinito.

Sin embargo, existen cálculos que realmente dan infinito. Sin embargo no todos los cálculos dan infinitos muy “grandes”. Para tener idea que existen diferentes tipos de infinitos, considere la cantidad de puntos en una línea. Con un poco de esfuerzo, veremos, por ejemplo, que el infinito que representa la cantidad de puntos en un plano es “mayor” al infinito que representa la cantidad de puntos en una línea. Hay infinitos más “grandes” que otros.

Así, en los cálculos de teoría de campos, algunos infinitos son lo suficientemente “pequeños” y pueden ignorarse “restándose” de las ecuaciones. Este proceso es llamado “renormalización”. De esta manera, se ha construido la teoría más exacta de la ciencia: la electrodinámica cuántica. Capaz de calcular, en números finitos, las infinitas interacciones posibles entre, por ejemplo, dos electrones utilizando un campo electromagnético. La precisión puede llegar a ser de 13 cifras decimales con respecto a las mediciones experimentales, toda una proeza del ingenio humano.

Sin embargo, teorías, como la fuerza nuclear, tienen infinitos que no pueden renormalizarse, es decir, con cualquier artilugio matemático siguen dando infinito. Esta situación le ha quemado más de una neurona a los cerebros de los físicos teóricos. Aún no sabemos qué puede pasar en un futuro. Posiblemente puede que estemos resolviendo el problema de la fuerza nuclear de manera equivocada y como en la paradoja de Aquiles y la tortuga, puedan obtenerse valores finitos con métodos diferentes o quizá obtener valores finitos sea imposible y tendremos que enfrentarnos a una realidad incómoda: posiblemente estemos hechos de infinito.

@eltrinador

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